Programación Lineal: Optimización de la Producción de Bombones

**a) Plantear el problema que determina el número de cajas de cada tipo que se han de confeccionar para maximizar la recaudación.** Primero, definimos las variables de decisión que representan lo que queremos calcular: - $x$: número de cajas de tipo azul. - $y$: número de cajas de tipo rojo. Organizamos la información en una tabla para identificar las restricciones basadas en el stock disponible: $$\begin{array}{|l|c|c|c|} \hline \text{Tipo de bombón} & \text{Caja Azul (x)} & \text{Caja Roja (y)} & \text{Máximo disponible} \\ \hline \text{Crema de cacao} & 4 & 6 & 320 \\ \hline \text{Frutos secos} & 4 & 2 & 240 \\ \hline \text{Licor} & 2 & 4 & 200 \\ \hline \text{Precio de venta} & 8\,€ & 10\,€ & \text{Maximizar} \\ \hline \end{array}$$ 💡 **Tip:** Definir correctamente las variables es el paso más importante. Recuerda que $x$ e $y$ deben ser siempre mayores o iguales a cero en problemas de producción.

A partir de la tabla, establecemos la función objetivo (lo que queremos maximizar) y el sistema de inecuaciones que limita nuestra producción (restricciones). **Función Objetivo:** $$f(x, y) = 8x + 10y$$ **Restricciones:** 1. Bombones de crema: $4x + 6y \le 320 \implies 2x + 3y \le 160$ 2. Bombones de frutos secos: $4x + 2y \le 240 \implies 2x + y \le 120$ 3. Bombones de licor: $2x + 4y \le 200 \implies x + 2y \le 100$ 4. No negatividad: $x \ge 0, \; y \ge 0$ ✅ **Planteamiento:** $$\boxed{\begin{aligned} \text{Maximizar } & Z = 8x + 10y \\ \text{sujeto a: } & 2x + 3y \le 160 \\ & 2x + y \le 120 \\ & x + 2y \le 100 \\ & x, y \ge 0 \end{aligned}}$$

**b) Representar la región factible, determinar una solución óptima y hallar el valor óptimo de la función objetivo.** Para representar la región factible, hallamos los puntos de corte con los ejes de cada recta frontera: - **Recta 1 ($2x + 3y = 160$):** Si $x=0, y=53.3$; si $y=0, x=80$. - **Recta 2 ($2x + y = 120$):** Si $x=0, y=120$; si $y=0, x=60$. - **Recta 3 ($x + 2y = 100$):** Si $x=0, y=50$; si $y=0, x=100$. Calculamos las intersecciones entre las rectas que limitan la región: - **Intersección R1 y R2:** $$\begin{cases} 2x + 3y = 160 \\ 2x + y = 120 \end{cases} \implies (2x+3y) - (2x+y) = 160-120 \implies 2y = 40 \implies y = 20$$ Sustituyendo: $2x + 20 = 120 \implies 2x = 100 \implies x = 50$. Punto **$B(50, 20)$**. - **Intersección R1 y R3:** $$\begin{cases} 2x + 3y = 160 \\ x + 2y = 100 \to x = 100-2y \end{cases} \implies 2(100-2y) + 3y = 160 \implies 200 - 4y + 3y = 160 \implies y = 40$$ Sustituyendo: $x = 100 - 2(40) = 20$. Punto **$C(20, 40)$**. Los vértices de la región factible son: **$O(0,0)$**, **$A(60, 0)$**, **$B(50, 20)$**, **$C(20, 40)$** y **$D(0, 50)$**.

Dibujamos las rectas y sombreamos el área común que cumple todas las inecuaciones. El recinto es un polígono convexo cerrado.

Evaluamos la función de recaudación $f(x, y) = 8x + 10y$ en cada uno de los vértices hallados: - En $O(0, 0): f(0,0) = 8(0) + 10(0) = 0\,€$ - En $A(60, 0): f(60,0) = 8(60) + 10(0) = 480\,€$ - En **$B(50, 20)$**: $f(50,20) = 8(50) + 10(20) = 400 + 200 = \mathbf{600\,€}$ - En $C(20, 40): f(20,40) = 8(20) + 10(40) = 160 + 400 = 560\,€$ - En $D(0, 50): f(0,50) = 8(0) + 10(50) = 500\,€$ El valor máximo se alcanza en el punto $B(50, 20)$. 💡 **Tip:** El teorema fundamental de la programación lineal garantiza que el óptimo siempre se encuentra en un vértice o en un segmento de la frontera. ✅ **Solución Óptima:** $$\boxed{\text{Se deben confeccionar 50 cajas azules y 20 rojas para una recaudación máxima de 600 euros.}}$$