Discusión y resolución de un sistema lineal con parámetro

**a) Discútase en función de los valores del parámetro $a$.** Para discutir el sistema, primero lo escribimos en forma matricial. Definimos la matriz de coeficientes ($A$) y la matriz ampliada ($A^*$): $$A = \begin{pmatrix} 1 & -2 & -1 \\ -2 & 0 & -a \\ 0 & 1 & a \end{pmatrix}; \quad A^* = \left(\begin{array}{ccc|c} 1 & -2 & -1 & -2 \\ -2 & 0 & -a & 2 \\ 0 & 1 & a & -2 \end{array}\right)$$ El objetivo es comparar el rango de $A$ y el rango de $A^*$ utilizando el **Teorema de Rouché-Frobenius**. 💡 **Tip:** El rango de una matriz es el número de filas o columnas linealmente independientes, que coincide con el orden del mayor determinante distinto de cero que podemos encontrar en ella.

Calculamos el determinante de $A$ mediante la regla de Sarrus: $$|A| = \begin{vmatrix} 1 & -2 & -1 \\ -2 & 0 & -a \\ 0 & 1 & a \end{vmatrix}$$ $$|A| = (1 \cdot 0 \cdot a) + (-2 \cdot -a \cdot 0) + (-1 \cdot -2 \cdot 1) - [(-1 \cdot 0 \cdot 0) + (-2 \cdot -2 \cdot a) + (1 \cdot -a \cdot 1)]$$ $$|A| = (0 + 0 + 2) - (0 + 4a - a)$$ $$|A| = 2 - (3a) = 2 - 3a$$ Para estudiar los distintos casos, igualamos el determinante a cero: $$2 - 3a = 0 \implies 3a = 2 \implies a = \frac{2}{3}$$ 💡 **Tip:** Cuando el determinante de la matriz de coeficientes es distinto de cero, el sistema es siempre Compatible Determinado (solución única).

Analizamos los casos según el valor del parámetro: **Caso 1: $a \neq \frac{2}{3}$** Si $a \neq \frac{2}{3}$, entonces $|A| \neq 0$. Esto implica que el rango de $A$ es $3$. Como la matriz ampliada $A^*$ es de dimensión $3 \times 4$, su rango máximo también es $3$. Por tanto: $$\text{rg}(A) = \text{rg}(A^*) = 3 = \text{nº de incógnitas}$$ Según el Teorema de Rouché-Frobenius, el sistema es **Compatible Determinado (SCD)**. **Caso 2: $a = \frac{2}{3}$** Si $a = \frac{2}{3}$, el determinante $|A| = 0$, por lo que $\text{rg}(A) < 3$. Buscamos un menor de orden 2 distinto de cero en $A$: $$\begin{vmatrix} 1 & -2 \\ -2 & 0 \end{vmatrix} = 0 - 4 = -4 \neq 0 \implies \text{rg}(A) = 2$$ Ahora estudiamos el rango de $A^*$ orlando este menor con la columna de términos independientes: $$\begin{vmatrix} 1 & -2 & -2 \\ -2 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & -2 \end{vmatrix} = (0 + 0 + 4) - (0 + 2 + 8) = 4 - 10 = -6 \neq 0$$ Como existe un menor de orden 3 no nulo en $A^*$, $\text{rg}(A^*) = 3$. Dado que $\text{rg}(A) \neq \text{rg}(A^*)$, el sistema es **Incompatible (SI)**. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\begin{cases} \text{Si } a \neq 2/3: \text{ Sistema Compatible Determinado} \\ \text{Si } a = 2/3: \text{ Sistema Incompatible} \end{cases}}$$

**b) Resuélvase para $a = 4$.** Como $a = 4 \neq \frac{2}{3}$, sabemos por el apartado anterior que el sistema es **Compatible Determinado**. Sustituimos el valor en el sistema: $$\begin{cases} x - 2y - z = -2 \\ -2x - 4z = 2 \\ y + 4z = -2 \end{cases}$$ Calculamos primero el valor del determinante de $A$ para este valor: $$|A| = 2 - 3(4) = 2 - 12 = -10$$ Resolveremos el sistema utilizando la **Regla de Cramer**. 💡 **Tip:** La Regla de Cramer nos dice que cada incógnita se calcula como el cociente entre el determinante de la matriz sustituyendo la columna de la incógnita por la de términos independientes y el determinante de la matriz de coeficientes.

Calculamos cada determinante: **Para $x$:** $$|A_x| = \begin{vmatrix} -2 & -2 & -1 \\ 2 & 0 & -4 \\ -2 & 1 & 4 \end{vmatrix} = (0 - 16 - 2) - (0 + 8 - 16) = -18 - (-8) = -10$$ $$x = \frac{|A_x|}{|A|} = \frac{-10}{-10} = 1$$ **Para $y$:** $$|A_y| = \begin{vmatrix} 1 & -2 & -1 \\ -2 & 2 & -4 \\ 0 & -2 & 4 \end{vmatrix} = (8 + 0 - 4) - (0 + 8 + 16) = 4 - 24 = -20$$ $$y = \frac{|A_y|}{|A|} = \frac{-20}{-10} = 2$$ **Para $z$:** $$|A_z| = \begin{vmatrix} 1 & -2 & -2 \\ -2 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & -2 \end{vmatrix} = (0 + 0 + 4) - (0 + 2 - 8) = 4 - (-6) = 10$$ $$z = \frac{|A_z|}{|A|} = \frac{10}{-10} = -1$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{x = 1, \quad y = 2, \quad z = -1}$$