Programación Lineal: Región Factible y Optimización

**a) Represéntese gráficamente la región $S$ y calcúlense las coordenadas de sus vértices.** Primero, transformamos las inecuaciones en igualdades para obtener las rectas que limitan la región: 1. $x = 1$ (recta vertical) 2. $x = 5$ (recta vertical) 3. $y = 2$ (recta horizontal) 4. $y = 6$ (recta horizontal) 5. $x - y = -4 \implies y = x + 4$ 6. $3x - y = 10 \implies y = 3x - 10$ Dibujamos estas rectas en el plano cartesiano y determinamos el semiplano que satisface cada inecuación. La intersección de todos estos semiplanos constituye la **región factible $S$**. 💡 **Tip:** Para saber qué lado de la recta es el válido, toma un punto de prueba como el $(0,0)$ y comprueba si cumple la desigualdad. Por ejemplo, en $x - y \ge -4$, sustituimos: $0 - 0 \ge -4 \implies 0 \ge -4$ (Verdadero), por lo que el semiplano que contiene al origen es el correcto.

Para hallar los vértices de la región $S$, resolvemos los sistemas de ecuaciones formados por las rectas que se cortan en cada esquina: - **Vértice $A$**: Intersección de $x = 1$ e $y = 2$. Punto: $\mathbf{A(1, 2)}$ - **Vértice $B$**: Intersección de $x = 1$ e $y = x + 4$. $y = 1 + 4 = 5$. Punto: $\mathbf{B(1, 5)}$ - **Vértice $C$**: Intersección de $y = 6$ e $y = x + 4$. $6 = x + 4 \implies x = 2$. Punto: $\mathbf{C(2, 6)}$ - **Vértice $D$**: Intersección de $x = 5$ e $y = 6$. Punto: $\mathbf{D(5, 6)}$ - **Vértice $E$**: Intersección de $x = 5$ e $y = 3x - 10$. $y = 3(5) - 10 = 5$. Punto: $\mathbf{E(5, 5)}$ - **Vértice $F$**: Intersección de $y = 2$ e $y = 3x - 10$. $2 = 3x - 10 \implies 12 = 3x \implies x = 4$. Punto: $\mathbf{F(4, 2)}$ ✅ **Resultado (vértices):** $$\boxed{A(1,2), B(1,5), C(2,6), D(5,6), E(5,5), F(4,2)}$$

**b) Calcúlense los valores máximo y mínimo de la función $f(x, y) = -200x + 600y$ en la región $S$ y obténganse los puntos de $S$ donde se alcanzan dichos valores.** Según el Teorema Fundamental de la Programación Lineal, el máximo y el mínimo de una función lineal sobre un polígono convexo se encuentran en sus vértices. Evaluamos $f(x, y) = -200x + 600y$ en cada uno de ellos: - $f(1, 2) = -200(1) + 600(2) = -200 + 1200 = 1000$ - $f(1, 5) = -200(1) + 600(5) = -200 + 3000 = 2800$ - $f(2, 6) = -200(2) + 600(6) = -400 + 3600 = 3200$ - $f(5, 6) = -200(5) + 600(6) = -1000 + 3600 = 2600$ - $f(5, 5) = -200(5) + 600(5) = -1000 + 3000 = 2000$ - $f(4, 2) = -200(4) + 600(2) = -800 + 1200 = 400$ 💡 **Tip:** Asegúrate de realizar las operaciones con cuidado. En programación lineal, un error en la evaluación de un solo vértice puede cambiar la solución final.

Comparando los valores obtenidos en el paso anterior: - El valor máximo es **3200**, que se alcanza en el punto **$(2, 6)$**. - El valor mínimo es **400**, que se alcanza en el punto **$(4, 2)$**. ✅ **Resultado final:** $$\boxed{\text{Máximo: } 3200 \text{ en } (2, 6); \quad \text{Mínimo: } 400 \text{ en } (4, 2)}$$