Continuidad de una función a trozos y estudio de monotonía

**a) Calcúlese el valor del parámetro real $a$ para que $f(x)$ sea una función continua en todo su dominio.** Analizamos la continuidad en los diferentes tramos de la función: 1. En el intervalo $(-\infty, -1)$, la función $f(x) = ax + 1$ es una función polinómica (recta), por lo que es continua para cualquier valor de $a$. 2. En el intervalo $(-1, +\infty)$, la función $f(x) = x^2 + x - 2$ es una función polinómica (parábola), por lo que también es continua. El único punto donde podría haber una discontinuidad es en el salto entre ramas, es decir, en $x = -1$. Para que la función sea continua en $x = -1$, se deben cumplir tres condiciones: - Que exista $f(-1)$. - Que exista el límite $\lim_{x \to -1} f(x)$. - Que el valor de la función coincida con el límite: $f(-1) = \lim_{x \to -1} f(x)$. 💡 **Tip:** Para que exista el límite en un punto de salto, los límites laterales deben ser iguales: $\lim_{x \to -1^-} f(x) = \lim_{x \to -1^+} f(x)$.

Calculamos los límites laterales en $x = -1$: **Límite por la izquierda ($x \lt -1$):** $$\lim_{x \to -1^-} f(x) = \lim_{x \to -1} (ax + 1) = a(-1) + 1 = -a + 1$$ **Límite por la derecha ($x \ge -1$):** $$\lim_{x \to -1^+} f(x) = \lim_{x \to -1} (x^2 + x - 2) = (-1)^2 + (-1) - 2 = 1 - 1 - 2 = -2$$ El valor de la función es $f(-1) = -2$ (usando la segunda rama). Para que sea continua, igualamos ambos límites: $$-a + 1 = -2$$ $$-a = -2 - 1$$ $$-a = -3 \implies a = 3$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{a = 3}$$

**b) Para $a = 2$, calcúlense los puntos de corte de la gráfica de la función con los ejes cartesianos. Determínense sus intervalos de crecimiento y decrecimiento.** Sustituimos $a = 2$ en la función: $$f(x) = \begin{cases} 2x + 1 & \text{si } x \lt -1, \\ x^2 + x - 2 & \text{si } x \ge -1. \end{cases}$$ **Corte con el eje Y ($x = 0$):** Como $0 \ge -1$, usamos la segunda rama: $$f(0) = 0^2 + 0 - 2 = -2$$ El punto de corte es **$(0, -2)$**. **Corte con el eje X ($f(x) = 0$):** - **Rama 1 ($x \lt -1$):** $2x + 1 = 0 \implies x = -1/2$. Como $-1/2$ no es menor que $-1$, este punto **no es válido** en esta rama. - **Rama 2 ($x \ge -1$):** $x^2 + x - 2 = 0$. Resolvemos la ecuación de segundo grado: $$x = \frac{-1 \pm \sqrt{1^2 - 4(1)(-2)}}{2} = \frac{-1 \pm \sqrt{9}}{2} = \frac{-1 \pm 3}{2}$$ Esto nos da $x_1 = 1$ y $x_2 = -2$. De estos, solo $x = 1$ cumple la condición $x \ge -1$. ✅ **Puntos de corte:** $$\boxed{(0, -2) \text{ y } (1, 0)}$$

Para estudiar el crecimiento y decrecimiento, calculamos la derivada $f'(x)$ en cada rama: $$f'(x) = \begin{cases} 2 & \text{si } x \lt -1, \\ 2x + 1 & \text{si } x \gt -1. \end{cases}$$ 💡 **Tip:** En los puntos de salto, la función puede no ser derivable. En este caso, para $a=2$, la función no es continua en $x=-1$, por lo que no es derivable allí. No obstante, podemos estudiar el signo de la derivada a ambos lados. Buscamos los puntos donde $f'(x) = 0$: - En la primera rama, $f'(x) = 2$, que nunca es $0$. - En la segunda rama, $2x + 1 = 0 \implies x = -1/2$. Como $-1/2 \gt -1$, es un punto crítico válido.

Analizamos el signo de $f'(x)$ en los intervalos definidos por el punto crítico ($x = -1/2$) y el punto de salto de la función ($x = -1$): $$\begin{array}{c|ccccc} x & (-\infty, -1) & -1 & (-1, -1/2) & -1/2 & (-1/2, +\infty) \\ \hline f'(x) & + & \n.d. & - & 0 & + \\ \hline \text{Monotonía} & \text{Creciente} & \text{Salto} & \text{Decreciente} & \text{Mínimo} & \text{Creciente} \end{array}$$ - En $(-\infty, -1)$, $f'(x) = 2 \gt 0$, luego la función **crece**. - En $(-1, -1/2)$, tomamos $x = -0.75$: $f'(-0.75) = 2(-0.75) + 1 = -0.5 \lt 0$, luego la función **decrece**. - En $(-1/2, +\infty)$, tomamos $x = 0$: $f'(0) = 1 \gt 0$, luego la función **crece**. ✅ **Intervalos de crecimiento y decrecimiento:** $$\boxed{\text{Crecimiento: } (-\infty, -1) \cup (-1/2, +\infty)}$$ $$\boxed{\text{Decrecimiento: } (-1, -1/2)}$$ *Nota: Se indica el intervalo abierto en -1 debido a la discontinuidad para a=2.*