Probabilidad y Estadística 2017 Madrid
Probabilidad en la producción de ordenadores portátiles
Ejercicio 4. (Calificación máxima: 2 puntos)
Una empresa fabrica dos modelos de ordenadores portátiles $A$ y $B$, siendo la producción del modelo $A$ el doble que la del modelo $B$. Se sabe que la probabilidad de que un ordenador portátil del modelo $A$ salga defectuoso es de $0'02$, mientras que esa probabilidad en el modelo $B$ es de $0'06$. Calcúlese la probabilidad de que un ordenador fabricado por dicha empresa elegido al azar:
a) No salga defectuoso.
b) Sea del modelo $A$, si se sabe que ha salido defectuoso.
Paso 1
Definición de sucesos y construcción del árbol de probabilidad
En primer lugar, definimos los sucesos que intervienen en el problema:
- $A$: El ordenador es del modelo $A$.
- $B$: El ordenador es del modelo $B$.
- $D$: El ordenador es defectuoso.
- $\bar{D}$: El ordenador no es defectuoso.
Para determinar las probabilidades de elegir cada modelo, el enunciado indica que la producción de $A$ es el doble que la de $B$.
Sea $P(B) = x$, entonces $P(A) = 2x$.
Como son los únicos modelos fabricados, la suma de sus probabilidades debe ser $1$:
$$P(A) + P(B) = 1 \implies 2x + x = 1 \implies 3x = 1 \implies x = \frac{1}{3}.$$
Por tanto, $P(A) = \frac{2}{3}$ y $P(B) = \frac{1}{3}$.
Las probabilidades condicionadas dadas son:
$P(D|A) = 0{,}02 \implies P(\bar{D}|A) = 1 - 0{,}02 = 0{,}98$
$P(D|B) = 0{,}06 \implies P(\bar{D}|B) = 1 - 0{,}06 = 0{,}94$
Representamos la situación en un **árbol de probabilidades**:
💡 **Tip:** En los problemas de probabilidad compuesta, siempre es recomendable asignar variables a los sucesos y dibujar un diagrama de árbol para visualizar las probabilidades condicionadas.
Paso 2
Calcular la probabilidad de que no salga defectuoso
**a) No salga defectuoso.**
Para calcular la probabilidad de que el ordenador no sea defectuoso, $P(\bar{D})$, aplicamos el **Teorema de la Probabilidad Total**.
Un ordenador puede no ser defectuoso por dos caminos: que sea del modelo $A$ y no sea defectuoso, o que sea del modelo $B$ y no sea defectuoso.
$$P(\bar{D}) = P(A) \cdot P(\bar{D}|A) + P(B) \cdot P(\bar{D}|B)$$
Sustituimos los valores obtenidos en el paso anterior:
$$P(\bar{D}) = \frac{2}{3} \cdot 0{,}98 + \frac{1}{3} \cdot 0{,}94$$
$$P(\bar{D}) = \frac{1{,}96}{3} + \frac{0{,}94}{3} = \frac{2{,}9}{3}$$
Realizando el cálculo decimal:
$$P(\bar{D}) \approx 0{,}9667$$
✅ **Resultado (apartado a):**
$$\boxed{P(\bar{D}) = \frac{29}{30} \approx 0{,}9667}$$
💡 **Tip:** Recuerda que la suma de las probabilidades de todas las ramas del árbol que terminan en el mismo suceso es la probabilidad total de dicho suceso.
Paso 3
Calcular la probabilidad de que sea del modelo A dado que es defectuoso
**b) Sea del modelo $A$, si se sabe que ha salido defectuoso.**
Se nos pide calcular una probabilidad a posteriori, es decir, la probabilidad de una causa (modelo $A$) dado un efecto conocido (es defectuoso). Usamos el **Teorema de Bayes**.
La fórmula es:
$$P(A|D) = \frac{P(A) \cdot P(D|A)}{P(D)}$$
Primero necesitamos $P(D)$, que es el suceso contrario a no ser defectuoso calculado en el apartado anterior:
$$P(D) = 1 - P(\bar{D}) = 1 - \frac{2{,}9}{3} = \frac{3 - 2{,}9}{3} = \frac{0{,}1}{3} = \frac{1}{30}$$
Ahora aplicamos Bayes:
$$P(A|D) = \frac{\frac{2}{3} \cdot 0{,}02}{\frac{0{,}1}{3}} = \frac{\frac{0{,}04}{3}}{\frac{0{,}1}{3}} = \frac{0{,}04}{0{,}1} = 0{,}4$$
✅ **Resultado (apartado b):**
$$\boxed{P(A|D) = 0{,}4}$$
💡 **Tip:** El Teorema de Bayes siempre relaciona la probabilidad de que ocurra algo dado un resultado previo. Es muy común en exámenes que el denominador ($P(D)$) se relacione con el cálculo hecho en el apartado anterior.