Distribución normal de la media muestral e intervalos de confianza

**a) La probabilidad de que la media muestral del tiempo, $\bar{X}$, supere las $48$ horas, si $\mu = 36$ horas.** En primer lugar, identificamos los datos del problema para la variable aleatoria $X$, que representa el tiempo de portabilidad: - Población: $X \sim N(\mu, \sigma) = N(36, 24)$. - Tamaño de la muestra: $n = 16$. La teoría del muestreo nos dice que la media muestral $\bar{X}$ sigue también una distribución normal con la misma media $\mu$ y una desviación típica (error estándar) igual a $\frac{\sigma}{\sqrt{n}}$. Calculamos la desviación típica de la media muestral: $$\sigma_{\bar{X}} = \frac{\sigma}{\sqrt{n}} = \frac{24}{\sqrt{16}} = \frac{24}{4} = 6.$$ Por tanto, la media muestral se distribuye como: $$\bar{X} \sim N(36, 6).$$ 💡 **Tip:** Recuerda que si la población es normal $N(\mu, \sigma)$, la media de las muestras de tamaño $n$ siempre sigue una $N(\mu, \sigma/\sqrt{n})$.

Queremos calcular $P(\bar{X} \gt 48)$. Para ello, debemos tipificar la variable para poder usar la tabla de la normal estándar $Z \sim N(0, 1)$ mediante la fórmula $Z = \frac{\bar{X} - \mu}{\sigma/\sqrt{n}}$: $$P(\bar{X} \gt 48) = P\left(Z \gt \frac{48 - 36}{6}\right) = P\left(Z \gt \frac{12}{6}\right) = P(Z \gt 2).$$ Como las tablas de la normal estándar suelen ofrecer la probabilidad acumulada hacia la izquierda ($P(Z \le z)$), aplicamos la propiedad del suceso contrario: $$P(Z \gt 2) = 1 - P(Z \le 2).$$ Buscando en la tabla $N(0, 1)$ el valor para $z = 2'00$, obtenemos $0'9772$: $$P(\bar{X} \gt 48) = 1 - 0'9772 = 0'0228.$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(\bar{X} \gt 48) = 0'0228}$$ 💡 **Tip:** Al tipificar, restamos la media y dividimos por la desviación típica de la distribución que estemos usando (en este caso, la de la media muestral).

**b) El nivel de confianza con el que se ha calculado el intervalo $(24'24 \ ; \ 47'76)$ para $\mu$.** Un intervalo de confianza para la media tiene la forma: $$I.C. = (\bar{x} - E, \bar{x} + E)$$ donde $\bar{x}$ es el centro del intervalo y $E$ es el margen de error. Calculamos el error $E$, que es la mitad de la amplitud del intervalo: $$E = \frac{47'76 - 24'24}{2} = \frac{23'52}{2} = 11'76.$$ (Opcionalmente, la media muestral sería el punto medio: $\bar{x} = \frac{24'24 + 47'76}{2} = 36$). Sabemos que la fórmula del error para la media es: $$E = z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$$ Sustituimos los valores conocidos ($\sigma = 24$, $n = 16$, $E = 11'76$): $$11'76 = z_{\alpha/2} \cdot \frac{24}{\sqrt{16}} \implies 11'76 = z_{\alpha/2} \cdot 6.$$ 💡 **Tip:** El error es siempre la distancia desde el centro del intervalo hasta cualquiera de sus extremos.

Despejamos el valor crítico $z_{\alpha/2}$: $$z_{\alpha/2} = \frac{11'76}{6} = 1'96.$$ Ahora, buscamos en la tabla de la normal estándar la probabilidad asociada a este valor crítico. El valor $z_{\alpha/2}$ es aquel que cumple: $$P(Z \le z_{\alpha/2}) = 1 - \frac{\alpha}{2}$$ Buscando $1'96$ en la tabla, encontramos que la probabilidad acumulada es $0'9750$: $$1 - \frac{\alpha}{2} = 0'9750.$$ De aquí obtenemos $\alpha/2$: $$\frac{\alpha}{2} = 1 - 0'9750 = 0'025 \implies \alpha = 0'05.$$ El nivel de confianza es $1 - \alpha$: $$1 - \alpha = 1 - 0'05 = 0'95.$$ Expresado en porcentaje, el nivel de confianza es del $95\%$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Nivel de confianza } = 95\%}$$ 💡 **Tip:** Recuerda los valores críticos más comunes: $1'645$ para el $90\%$, $1'96$ para el $95\%$ y $2'575$ para el $99\%$.