Potencias de matrices y ecuaciones matriciales

**a) Determínese la matriz $C^{40}$.** Para calcular una potencia elevada de una matriz, el primer paso suele ser calcular las primeras potencias ($C^2$, $C^3$, etc.) para tratar de encontrar un patrón o una regularidad. Calculamos $C^2$ multiplicando la matriz $C$ por sí misma: $$C^2 = C \cdot C = \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 3 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 3 & 1 \end{pmatrix}$$ Realizamos la multiplicación fila por columna: - Fila 1 por Columna 1: $(-1) \cdot (-1) + 0 \cdot 3 = 1$ - Fila 1 por Columna 2: $(-1) \cdot 0 + 0 \cdot 1 = 0$ - Fila 2 por Columna 1: $3 \cdot (-1) + 1 \cdot 3 = -3 + 3 = 0$ - Fila 2 por Columna 2: $3 \cdot 0 + 1 \cdot 1 = 1$ Por tanto: $$C^2 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = I$$ donde $I$ es la **matriz identidad** de orden 2. 💡 **Tip:** Cuando el resultado de una potencia es la identidad ($I$), decimos que la matriz es involutiva de orden 2. Esto simplifica enormemente cualquier potencia superior.

Como hemos obtenido que $C^2 = I$, podemos calcular cualquier potencia par de la matriz $C$ utilizando las propiedades de las potencias: $$C^{40} = (C^2)^{20}$$ Sustituimos $C^2$ por la matriz identidad $I$: $$C^{40} = I^{20}$$ Sabemos que la matriz identidad elevada a cualquier potencia sigue siendo la matriz identidad ($I^n = I$ para cualquier $n \in \mathbb{N}$). ✅ **Resultado:** $$\boxed{C^{40} = I = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}}$$

**b) Calcúlese la matriz $X$ que verifica $X \cdot A + 3B = C$.** Primero, debemos despejar la matriz $X$ de la ecuación matricial. Actuamos de forma similar a una ecuación de primer grado, pero teniendo cuidado con el orden de la multiplicación (ya que el producto de matrices **no es conmutativo**). 1. Restamos $3B$ en ambos lados: $$X \cdot A = C - 3B$$ 2. Para despejar $X$, debemos multiplicar por la derecha por la inversa de $A$ ($A^{-1}$), siempre que esta exista: $$(X \cdot A) \cdot A^{-1} = (C - 3B) \cdot A^{-1}$$ $$X \cdot (A \cdot A^{-1}) = (C - 3B) \cdot A^{-1}$$ $$X \cdot I = (C - 3B) \cdot A^{-1}$$ $$X = (C - 3B) \cdot A^{-1}$$ 💡 **Tip:** Es fundamental multiplicar por $A^{-1}$ por el mismo lado en ambos miembros. Como $A$ está a la derecha de $X$, multiplicamos por la derecha en ambos lados.

Para que exista $A^{-1}$, el determinante de $A$ debe ser distinto de cero. $$|A| = \begin{vmatrix} 1 & -2 \\ -1 & 1 \end{vmatrix} = (1)(1) - (-1)(-2) = 1 - 2 = -1$$ Como $|A| = -1 \neq 0$, la matriz $A$ es **invertible**. Calculamos su inversa usando la fórmula $A^{-1} = \frac{1}{|A|} \text{Adj}(A)^T$: 1. Matriz de adjuntos $\text{Adj}(A)$: - $adj_{11} = (-1)^{1+1}(1) = 1$ - $adj_{12} = (-1)^{1+2}(-1) = 1$ - $adj_{21} = (-1)^{2+1}(-2) = 2$ - $adj_{22} = (-1)^{2+2}(1) = 1$ $$\text{Adj}(A) = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}$$ 2. Traspuesta de la adjunta: $$\text{Adj}(A)^T = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$$ 3. Inversa de $A$: $$A^{-1} = \frac{1}{-1} \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 & -2 \\ -1 & -1 \end{pmatrix}$$ 💡 **Tip:** Para una matriz $2 \times 2$, un truco rápido para la inversa es intercambiar los elementos de la diagonal principal, cambiar el signo a la secundaria y dividir todo por el determinante.

Ahora calculamos primero la parte $(C - 3B)$ y luego multiplicamos por $A^{-1}$. Calculamos $3B$: $$3B = 3 \cdot \begin{pmatrix} 1 & 3 \\ 2 & -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 & 9 \\ 6 & -3 \end{pmatrix}$$ Calculamos $C - 3B$: $$C - 3B = \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 3 & 1 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 3 & 9 \\ 6 & -3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1-3 & 0-9 \\ 3-6 & 1-(-3) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -4 & -9 \\ -3 & 4 \end{pmatrix}$$ Finalmente, calculamos $X = (C - 3B) \cdot A^{-1}$: $$X = \begin{pmatrix} -4 & -9 \\ -3 & 4 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -1 & -2 \\ -1 & -1 \end{pmatrix}$$ Multiplicamos: - $x_{11} = (-4)(-1) + (-9)(-1) = 4 + 9 = 13$ - $x_{12} = (-4)(-2) + (-9)(-1) = 8 + 9 = 17$ - $x_{21} = (-3)(-1) + (4)(-1) = 3 - 4 = -1$ - $x_{22} = (-3)(-2) + (4)(-1) = 6 - 4 = 2$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{X = \begin{pmatrix} 13 & 17 \\ -1 & 2 \end{pmatrix}}$$