Estudio de asíntotas y monotonía de una función racional

**a) Estúdiense sus asíntotas.** Primero, identificamos el dominio de la función. Al ser una función racional, el dominio son todos los números reales excepto aquellos que anulan el denominador: $$3x - 2 = 0 \implies x = \frac{2}{3}.$$ $$\text{Dom}(f) = \mathbb{R} \setminus \left\{ \frac{2}{3} \right\}.$$ Para comprobar si hay una **asíntota vertical** en $x = 2/3$, calculamos los límites laterales: $$\lim_{x\to \frac{2}{3}^-} \frac{x^2-1}{3x-2} = \frac{(2/3)^2-1}{0^-} = \frac{4/9-1}{0^-} = \frac{-5/9}{0^-} = +\infty.$$ $$\lim_{x\to \frac{2}{3}^+} \frac{x^2-1}{3x-2} = \frac{-5/9}{0^+} = -\infty.$$ Como el límite tiende a infinito, existe una asíntota vertical. 💡 **Tip:** Una asíntota vertical aparece en los valores de $x$ que anulan el denominador (siempre que no anulen también al numerador o que el grado de anulación del denominador sea mayor). ✅ **Resultado (Asíntota Vertical):** $$\boxed{x = \frac{2}{3}}$$

Calculamos el límite de la función cuando $x$ tiende a infinito: $$\lim_{x \to \pm\infty} \frac{x^2 - 1}{3x - 2} = \pm\infty.$$ Como los límites no resultan en un valor finito, **no existen asíntotas horizontales**. 💡 **Tip:** En funciones racionales, si el grado del numerador es mayor que el grado del denominador, no hay asíntota horizontal, pero podría haber una oblicua si la diferencia de grados es exactamente 1. ✅ **Resultado (Asíntota Horizontal):** $$\boxed{\text{No hay asíntotas horizontales}}$$

Puesto que el grado del numerador (2) es una unidad mayor que el del denominador (1), buscamos una asíntota oblicua de la forma $y = mx + n$. Calculamos la pendiente $m$: $$m = \lim_{x \to \infty} \frac{f(x)}{x} = \lim_{x \to \infty} \frac{x^2 - 1}{x(3x - 2)} = \lim_{x \to \infty} \frac{x^2 - 1}{3x^2 - 2x} = \frac{1}{3}.$$ Calculamos la ordenada en el origen $n$: $$n = \lim_{x \to \infty} [f(x) - mx] = \lim_{x \to \infty} \left[ \frac{x^2 - 1}{3x - 2} - \frac{x}{3} \right]$$ Realizamos la resta de fracciones: $$n = \lim_{x \to \infty} \frac{3(x^2 - 1) - x(3x - 2)}{3(3x - 2)} = \lim_{x \to \infty} \frac{3x^2 - 3 - 3x^2 + 2x}{9x - 6} = \lim_{x \to \infty} \frac{2x - 3}{9x - 6} = \frac{2}{9}.$$ 💡 **Tip:** También puedes obtener la asíntota oblicua realizando la división polinómica de $x^2-1$ entre $3x-2$; el cociente será la ecuación de la recta. ✅ **Resultado (Asíntota Oblicua):** $$\boxed{y = \frac{1}{3}x + \frac{2}{9}}$$

**b) Determínense los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función.** Para estudiar la monotonía, calculamos la primera derivada $f'(x)$ usando la regla del cociente: $$f'(x) = \frac{(2x)(3x - 2) - (x^2 - 1)(3)}{(3x - 2)^2}$$ $$f'(x) = \frac{6x^2 - 4x - 3x^2 + 3}{(3x - 2)^2} = \frac{3x^2 - 4x + 3}{(3x - 2)^2}$$ 💡 **Tip:** Recuerda la regla del cociente: $\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$.

Para hallar los puntos críticos, igualamos la derivada a cero: $$f'(x) = 0 \implies 3x^2 - 4x + 3 = 0.$$ Resolvemos la ecuación de segundo grado: $$x = \frac{4 \pm \sqrt{(-4)^2 - 4(3)(3)}}{2(3)} = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 36}}{6} = \frac{4 \pm \sqrt{-20}}{6}.$$ Como el discriminante es negativo ($\Delta \lt 0$), la ecuación **no tiene soluciones reales**. Esto significa que el numerador $3x^2 - 4x + 3$ no cambia de signo nunca. Al ser una parábola con coeficiente de $x^2$ positivo ($3 \gt 0$), el numerador es siempre **positivo** para cualquier $x$. Además, el denominador $(3x - 2)^2$ es siempre **positivo** en todo el dominio por estar elevado al cuadrado. Por tanto, $f'(x) \gt 0$ en todo su dominio. **Tabla de signos de $f'(x)$:** $$\begin{array}{c|ccc} x & (-\infty, 2/3) & 2/3 & (2/3, +\infty)\\\hline f'(x) & + & \nexists & +\\\hline f(x) & \nearrow & \nexists & \nearrow \end{array}$$ 💡 **Tip:** Si la derivada es siempre positiva, la función es estrictamente creciente en los intervalos de su dominio. No digas que es creciente en $\mathbb{R}$, sino en la unión de intervalos abiertos. ✅ **Resultado (Intervalos de monotonía):** $$\boxed{\text{Creciente en: } (-\infty, 2/3) \cup (2/3, +\infty)}$$ $$\boxed{\text{Decreciente en: } \emptyset}$$