Extremos relativos y cálculo de áreas

**a) Calcúlese el valor del parámetro real $a$ para que la función $f(x)$ tenga un extremo relativo en $x = 2$. Determínese si se trata de un máximo o un mínimo local.** Para que una función derivable tenga un extremo relativo en un punto $x = x_0$, su primera derivada en ese punto debe ser igual a cero: $f'(x_0) = 0$. Calculamos la derivada de $f(x) = x^2 + ax$: $$f'(x) = 2x + a$$ Imponemos la condición de extremo en $x = 2$: $$f'(2) = 0 \implies 2(2) + a = 0$$ $$4 + a = 0 \implies a = -4$$ 💡 **Tip:** Recuerda que la condición necesaria (aunque no suficiente por sí sola) para la existencia de un extremo relativo en funciones derivables es que la pendiente de la recta tangente sea nula ($f'(x)=0$). $$\boxed{a = -4}$$

Para determinar si el extremo en $x = 2$ (con $a = -4$) es un máximo o un mínimo, podemos usar el criterio de la segunda derivada o estudiar el signo de la primera derivada. **Método 1: Segunda derivada** Calculamos $f''(x)$ a partir de $f'(x) = 2x - 4$: $$f''(x) = 2$$ Como $f''(2) = 2 \gt 0$, la función es convexa (forma de U) en ese punto, lo que indica que en $x = 2$ hay un **mínimo local**. **Método 2: Estudio del signo de $f'(x)$** Analizamos el signo de $f'(x) = 2x - 4$ alrededor de $x = 2$: $$\begin{array}{c|ccc} x & (-\infty, 2) & 2 & (2, +\infty)\\ \hline f'(x) & - & 0 & +\\ \hline f(x) & \searrow & \text{Mínimo} & \nearrow \end{array}$$ Al pasar de decreciente a creciente, confirmamos que es un mínimo. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Es un mínimo local}}$$

**b) Para $a = -2$, hállese el área del recinto acotado por la gráfica de $f(x)$, el eje de abscisas y las rectas $x = 0$ y $x = 2$.** Sustituimos el valor $a = -2$ en la función: $$f(x) = x^2 - 2x$$ El área solicitada está limitada por $f(x)$, el eje $X$ ($y = 0$) y las rectas verticales $x = 0$ y $x = 2$. Primero, comprobamos si la función corta al eje $X$ en el intervalo $(0, 2)$: $$x^2 - 2x = 0 \implies x(x - 2) = 0 \implies x = 0, \; x = 2$$ Los puntos de corte son precisamente los límites de integración. Ahora vemos si la función queda por encima o por debajo del eje en ese intervalo evaluando un punto intermedio, por ejemplo $x = 1$: $$f(1) = 1^2 - 2(1) = -1 \lt 0$$ La función es negativa en el intervalo $(0, 2)$, por lo que el área será el valor absoluto de la integral definida. 💡 **Tip:** El área siempre es una cantidad positiva. Si la gráfica está por debajo del eje $X$, la integral saldrá negativa, por lo que debemos cambiarle el signo o usar valor absoluto: $Area = \int_a^b |f(x)| dx$.

Calculamos el área mediante la integral definida: $$Area = \left| \int_{0}^{2} (x^2 - 2x) \, dx \right| = - \int_{0}^{2} (x^2 - 2x) \, dx$$ Calculamos la primitiva: $$\int (x^2 - 2x) \, dx = \frac{x^3}{3} - \frac{2x^2}{2} = \frac{x^3}{3} - x^2$$ Aplicamos la **Regla de Barrow**: $$\int_{0}^{2} (x^2 - 2x) \, dx = \left[ \frac{x^3}{3} - x^2 \right]_{0}^{2}$$ $$= \left( \frac{2^3}{3} - 2^2 \right) - \left( \frac{0^3}{3} - 0^2 \right)$$ $$= \left( \frac{8}{3} - 4 \right) - 0 = \frac{8 - 12}{3} = -\frac{4}{3}$$ Como el área debe ser positiva: $$Area = \left| -\frac{4}{3} \right| = \frac{4}{3} \text{ unidades}^2$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{Area = \frac{4}{3} \approx 1.33 \text{ u}^2}$$