Probabilidad de contaminación por nitratos y sulfatos

Lo primero que debemos hacer es definir los sucesos y anotar los datos que nos proporciona el enunciado: - $N$: El río está contaminado por nitratos. $P(N) = 0,6$. - $S$: El río está contaminado por sulfatos. $P(S) = 0,4$. - $N \cap S$: El río está contaminado por ambos. $P(N \cap S) = 0,2$. Para visualizar mejor las relaciones entre estos sucesos, podemos construir una **tabla de contingencia** completando los valores que faltan (sabiendo que las sumas de filas y columnas deben coincidir con los totales): $$\begin{array}{c|cc|c} & S & \overline{S} & \text{Total} \\ \hline N & 0,2 & 0,4 & 0,6 \\ \overline{N} & 0,2 & 0,2 & 0,4 \\ \hline \text{Total} & 0,4 & 0,6 & 1,0 \end{array}$$ 💡 **Tip:** En los problemas de probabilidad con dos sucesos y su intersección, la tabla de contingencia es una herramienta excelente para ver todas las combinaciones posibles rápidamente.

**a) No esté contaminado por nitratos, si se sabe que está contaminado por sulfatos.** Nos piden calcular una probabilidad condicionada. La condición es que el río ya está contaminado por sulfatos ($S$). El suceso que queremos calcular es que no esté contaminado por nitratos ($\overline{N}$). Usamos la fórmula de la probabilidad condicionada: $$P(\overline{N} | S) = \frac{P(\overline{N} \cap S)}{P(S)}$$ De la tabla anterior (o deduciendo que $P(\overline{N} \cap S) = P(S) - P(N \cap S)$), sabemos que: - $P(S) = 0,4$ - $P(\overline{N} \cap S) = 0,4 - 0,2 = 0,2$ Sustituimos en la fórmula: $$P(\overline{N} | S) = \frac{0,2}{0,4} = \frac{1}{2} = 0,5$$ 💡 **Tip:** La expresión "si se sabe que" nos indica siempre que estamos ante una probabilidad condicionada $P(A|B)$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(\overline{N} | S) = 0,5}$$

**b) No esté contaminado ni por nitratos ni por sulfatos.** En este apartado nos piden la probabilidad de que no ocurra $N$ **y** no ocurra $S$. Es decir, la intersección de los complementarios: $P(\overline{N} \cap \overline{S})$. Podemos resolverlo de dos formas: 1. Mirando directamente nuestra tabla de contingencia, donde el cruce de $\overline{N}$ y $\overline{S}$ es $0,2$. 2. Utilizando las **Leyes de De Morgan**: Sabemos que $\overline{N} \cap \overline{S} = \overline{N \cup S}$. Por tanto: $$P(\overline{N} \cap \overline{S}) = P(\overline{N \cup S}) = 1 - P(N \cup S)$$ Primero calculamos la unión $P(N \cup S)$: $$P(N \cup S) = P(N) + P(S) - P(N \cap S)$$ $$P(N \cup S) = 0,6 + 0,4 - 0,2 = 0,8$$ Ahora calculamos la probabilidad del complementario: $$P(\overline{N} \cap \overline{S}) = 1 - 0,8 = 0,2$$ 💡 **Tip:** Recuerda las Leyes de De Morgan: el complementario de la unión es la intersección de los complementarios, y viceversa. ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(\overline{N} \cap \overline{S}) = 0,2}$$