Intervalo de confianza y tamaño muestral para la media

**a) Una muestra aleatoria simple de $100$ individuos proporcionó una media muestral $\bar{x} = 7$ cm. Calcúlese un intervalo de confianza al $98 \%$ para $\mu$.** Primero, definimos la variable aleatoria y los datos conocidos: - $X$: longitud auricular de la oreja (cm). - Distribución: $X \sim N(\mu, \sigma) = N(\mu, 0,6)$. - Tamaño de la muestra: $n = 100$. - Media muestral: $\bar{x} = 7$. - Nivel de confianza: $1 - \alpha = 0,98$. Calculamos el valor crítico $z_{\alpha/2}$: 1. Si $1 - \alpha = 0,98$, entonces $\alpha = 0,02$ y $\alpha/2 = 0,01$. 2. Buscamos el valor de $z_{\alpha/2}$ tal que $P(Z \le z_{\alpha/2}) = 1 - \alpha/2 = 0,99$. 3. Mirando en las tablas de la distribución normal estándar $N(0, 1)$, encontramos que para una probabilidad de $0,99$, el valor es aproximadamente: $$z_{\alpha/2} = 2,33$$ 💡 **Tip:** El valor crítico $z_{\alpha/2}$ es aquel que deja una probabilidad de $\alpha/2$ en cada extremo de la distribución normal.

La fórmula del intervalo de confianza para la media $\mu$ es: $$I.C. = \left( \bar{x} - z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}}, \bar{x} + z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \right)$$ Sustituimos los valores conocidos: - Error máximo admisible $E = z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}} = 2,33 \cdot \frac{0,6}{\sqrt{100}}$ - $E = 2,33 \cdot \frac{0,6}{10} = 2,33 \cdot 0,06 = 0,1398$ Calculamos los extremos del intervalo: - Límite inferior: $7 - 0,1398 = 6,8602$ - Límite superior: $7 + 0,1398 = 7,1398$ ✅ **Resultado (Intervalo de confianza):** $$\boxed{I.C. = (6,8602, \; 7,1398)}$$

**b) ¿Qué tamaño mínimo debe tener una muestra aleatoria simple para que el error máximo cometido en la estimación de $\mu$ por la media muestral sea a lo sumo de $0'1$ cm, con un nivel de confianza del $98 \%?** El error máximo cometido se define como: $$E = z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$$ En este apartado, nos piden que el error sea a lo sumo de $0,1$ cm ($E \le 0,1$), manteniendo el nivel de confianza del $98 \%$, lo que implica que el valor crítico sigue siendo $z_{\alpha/2} = 2,33$. Datos: - $E \le 0,1$ - $z_{\alpha/2} = 2,33$ - $\sigma = 0,6$ 💡 **Tip:** Para hallar el tamaño mínimo, siempre planteamos la desigualdad $z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \le E$ y despejamos $n$.

Sustituimos los valores en la inecuación para despejar $n$: $$2,33 \cdot \frac{0,6}{\sqrt{n}} \le 0,1$$ Multiplicamos los términos del numerador: $$\frac{1,398}{\sqrt{n}} \le 0,1$$ Pasamos $\sqrt{n}$ multiplicando y $0,1$ dividiendo: $$\frac{1,398}{0,1} \le \sqrt{n} \implies 13,98 \le \sqrt{n}$$ Elevamos al cuadrado ambos miembros para eliminar la raíz: $$n \ge (13,98)^2$$ $$n \ge 195,4404$$ Como el tamaño de la muestra $n$ debe ser un número entero y debemos garantizar que el error sea inferior a $0,1$, tomamos el primer número entero superior. ✅ **Resultado (Tamaño mínimo):** $$\boxed{n = 196}$$