Invertibilidad de matrices y ecuaciones matriciales con parámetros

**a) Discútase para qué valores del parámetro real $k$ la matriz $A$ tiene matriz inversa.** Para que una matriz cuadrada $A$ tenga inversa, es necesario y suficiente que su determinante sea distinto de cero ($|A| \neq 0$). Calculamos el determinante de la matriz $A$ utilizando la **regla de Sarrus**: $$|A| = \begin{vmatrix} 1 & 2 & -k \\ 1 & -2 & 1 \\ k & 2 & -1 \end{vmatrix}$$ $$|A| = [1 \cdot (-2) \cdot (-1) + 2 \cdot 1 \cdot k + (-k) \cdot 1 \cdot 2] - [k \cdot (-2) \cdot (-k) + 1 \cdot 1 \cdot 2 + (-1) \cdot 1 \cdot 2]$$ Operamos los términos: $$|A| = [2 + 2k - 2k] - [2k^2 + 2 - 2]$$ $$|A| = 2 - 2k^2$$ 💡 **Tip:** Recuerda que una matriz $A$ es regular (tiene inversa) si y solo si $|A| \neq 0$. Si $|A| = 0$, la matriz se llama singular y no tiene inversa.

Igualamos el determinante a cero para encontrar los valores críticos de $k$: $$2 - 2k^2 = 0 \implies 2 = 2k^2 \implies k^2 = 1$$ De aquí obtenemos dos valores: $$k = 1 \quad \text{y} \quad k = -1$$ Por tanto, podemos concluir la discusión: - Si **$k \neq 1$ y $k \neq -1$**, entonces $|A| \neq 0$ y la matriz **$A$ tiene inversa**. - Si **$k = 1$ o $k = -1$**, entonces $|A| = 0$ y la matriz **$A$ no tiene inversa**. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{A tiene inversa para } k \in \mathbb{R} \setminus \{-1, 1\}}$$

**b) Determínese para $k = 0$ la matriz $X$ que verifica la ecuación $A \cdot X = B$.** Si $k = 0$, el determinante de $A$ es $|A| = 2 - 2(0)^2 = 2$. Como $|A| \neq 0$, la matriz $A$ es invertible y podemos despejar $X$ en la ecuación: $$A \cdot X = B$$ Multiplicamos por la izquierda por $A^{-1}$ en ambos lados: $$A^{-1} \cdot A \cdot X = A^{-1} \cdot B$$ $$I \cdot X = A^{-1} \cdot B$$ $$X = A^{-1} \cdot B$$ 💡 **Tip:** En ecuaciones matriciales, el orden del producto importa. Si multiplicas por $A^{-1}$ por la izquierda en un lado, debes hacerlo también por la izquierda en el otro.

Para $k = 0$, la matriz es $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 \\ 1 & -2 & 1 \\ 0 & 2 & -1 \end{pmatrix}$ con $|A| = 2$. Calculamos los adjuntos de los elementos de $A$ ($A_{ij}$): $A_{11} = +\begin{vmatrix} -2 & 1 \\ 2 & -1 \end{vmatrix} = 2 - 2 = 0$ $A_{12} = -\begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 0 & -1 \end{vmatrix} = -(-1) = 1$ $A_{13} = +\begin{vmatrix} 1 & -2 \\ 0 & 2 \end{vmatrix} = 2$ $A_{21} = -\begin{vmatrix} 2 & 0 \\ 2 & -1 \end{vmatrix} = -(-2) = 2$ $A_{22} = +\begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{vmatrix} = -1$ $A_{23} = -\begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 2 \end{vmatrix} = -2$ $A_{31} = +\begin{vmatrix} 2 & 0 \\ -2 & 1 \end{vmatrix} = 2$ $A_{32} = -\begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} = -1$ $A_{33} = +\begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 1 & -2 \end{vmatrix} = -2 - 2 = -4$ La matriz adjunta es $\text{Adj}(A) = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 2 \\ 2 & -1 & -2 \\ 2 & -1 & -4 \end{pmatrix}$. Transponemos la adjunta y dividimos por el determinante: $$A^{-1} = \frac{1}{|A|} (\text{Adj}(A))^T = \frac{1}{2} \begin{pmatrix} 0 & 2 & 2 \\ 1 & -1 & -1 \\ 2 & -2 & -4 \end{pmatrix}$$

Ahora calculamos $X = A^{-1} \cdot B$: $$X = \frac{1}{2} \begin{pmatrix} 0 & 2 & 2 \\ 1 & -1 & -1 \\ 2 & -2 & -4 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 0 & 2 & 2 \\ 0 & 0 & 3 \end{pmatrix}$$ Realizamos el producto de matrices fila por columna: - Fila 1: $(0\cdot1+2\cdot0+2\cdot0, \, 0\cdot1+2\cdot2+2\cdot0, \, 0\cdot1+2\cdot2+2\cdot3) = (0, 4, 10)$ - Fila 2: $(1\cdot1-1\cdot0-1\cdot0, \, 1\cdot1-1\cdot2-1\cdot0, \, 1\cdot1-1\cdot2-1\cdot3) = (1, -1, -4)$ - Fila 3: $(2\cdot1-2\cdot0-4\cdot0, \, 2\cdot1-2\cdot2-4\cdot0, \, 2\cdot1-2\cdot2-4\cdot3) = (2, -2, -14)$ $$X = \frac{1}{2} \begin{pmatrix} 0 & 4 & 10 \\ 1 & -1 & -4 \\ 2 & -2 & -14 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 2 & 5 \\ 1/2 & -1/2 & -2 \\ 1 & -1 & -7 \end{pmatrix}$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{X = \begin{pmatrix} 0 & 2 & 5 \\ 1/2 & -1/2 & -2 \\ 1 & -1 & -7 \end{pmatrix}}$$