Programación lineal: Región factible y optimización

**a) Represéntese gráficamente la región $S$ y calcúlense las coordenadas de sus vértices.** Para representar la región factible $S$, primero transformamos las inecuaciones en ecuaciones de rectas. Estas rectas delimitarán nuestra región: 1. $r_1: x + 6y = 6$ 2. $r_2: 5x - 2y = -2$ 3. $r_3: x + 3y = 20$ 4. $r_4: 2x - y = 12$ 💡 **Tip:** Para dibujar cada recta, lo más sencillo es calcular los puntos de corte con los ejes o dar un par de valores a $x$. Por ejemplo, en $r_1$, si $x=0 \Rightarrow y=1$ y si $y=0 \Rightarrow x=6$.

Los vértices son los puntos de intersección de las rectas que delimitan la región $S$. Resolvemos los sistemas de ecuaciones correspondientes: - **Vértice $A$ ($r_1 \cap r_2$):** $$\begin{cases} x + 6y = 6 \\ 5x - 2y = -2 \end{cases}$$ Multiplicamos la segunda por 3: $15x - 6y = -6$. Sumamos: $16x = 0 \Rightarrow \mathbf{x = 0}$. Sustituyendo: $0 + 6y = 6 \Rightarrow \mathbf{y = 1}$. $\mathbf{A(0, 1)}$ - **Vértice $B$ ($r_2 \cap r_3$):** $$\begin{cases} 5x - 2y = -2 \\ x + 3y = 20 \end{cases}$$ De la segunda $x = 20 - 3y$. Sustituimos en la primera: $5(20 - 3y) - 2y = -2 \Rightarrow 100 - 15y - 2y = -2 \Rightarrow 102 = 17y \Rightarrow \mathbf{y = 6}$. Luego $x = 20 - 18 = 2$. $\mathbf{B(2, 6)}$ - **Vértice $C$ ($r_3 \cap r_4$):** $$\begin{cases} x + 3y = 20 \\ 2x - y = 12 \end{cases}$$ De la segunda $y = 2x - 12$. Sustituimos: $x + 3(2x - 12) = 20 \Rightarrow x + 6x - 36 = 20 \Rightarrow 7x = 56 \Rightarrow \mathbf{x = 8}$. Luego $y = 2(8) - 12 = 4$. $\mathbf{C(8, 4)}$ - **Vértice $D$ ($r_4 \cap r_1$):** $$\begin{cases} 2x - y = 12 \\ x + 6y = 6 \end{cases}$$ De la primera $y = 2x - 12$. Sustituimos: $x + 6(2x - 12) = 6 \Rightarrow x + 12x - 72 = 6 \Rightarrow 13x = 78 \Rightarrow \mathbf{x = 6}$. Luego $y = 2(6) - 12 = 0$. $\mathbf{D(6, 0)}$ ✅ **Vértices:** $$\boxed{A(0, 1), B(2, 6), C(8, 4), D(6, 0)}$$

Dibujamos las rectas y sombreamos la región que cumple todas las desigualdades. Para saber hacia qué lado sombrear, podemos probar un punto interior como el $(2, 2)$ en las inecuaciones originales. $2+6(2) = 14 \ge 6$ (Cierto) $5(2)-2(2) = 6 \ge -2$ (Cierto) $2+3(2) = 8 \le 20$ (Cierto) $2(2)-2 = 2 \le 12$ (Cierto) El punto $(2,2)$ está dentro de la región.

**b) Determínense los puntos en los que la función $f(x, y) = 4x - 3y$ alcanza sus valores máximo y mínimo en $S$, indicando el valor de $f(x, y)$ en dichos puntos.** Para encontrar el máximo y el mínimo de la función objetivo $f(x, y) = 4x - 3y$, evaluamos la función en cada uno de los vértices hallados: - En $A(0, 1)$: $f(0, 1) = 4(0) - 3(1) = -3$ - En $B(2, 6)$: $f(2, 6) = 4(2) - 3(6) = 8 - 18 = -10$ - En $C(8, 4)$: $f(8, 4) = 4(8) - 3(4) = 32 - 12 = 20$ - En $D(6, 0)$: $f(6, 0) = 4(6) - 3(0) = 24$ 💡 **Tip:** Según el Teorema Fundamental de la Programación Lineal, si existe una solución óptima, ésta se encontrará en un vértice de la región factible (o en un segmento de la frontera si hay infinitas soluciones).

Comparando los valores obtenidos: - El valor máximo es **24** y se alcanza en el punto **$D(6, 0)$**. - El valor mínimo es **-10** y se alcanza en el punto **$B(2, 6)$**. ✅ **Resultados finales:** $$\boxed{\text{Máximo: } f(6, 0) = 24}$$ $$\boxed{\text{Mínimo: } f(2, 6) = -10}$$