Derivada en un punto y estudio de asíntotas

**a) Determínese el valor de la derivada de la función $f(x) = \frac{e^x}{1 + x}$ en el punto de abscisa $x = 0$.** Para hallar el valor de la derivada en $x = 0$, primero necesitamos obtener la expresión general de la función derivada $f'(x)$. La función es un cociente de dos funciones: $u(x) = e^x$ y $v(x) = 1 + x$. Aplicamos la regla de la derivada de un cociente: $$\left( \frac{u}{v} \right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$$ Donde: - $u(x) = e^x \implies u'(x) = e^x$ - $v(x) = 1 + x \implies v'(x) = 1$ Sustituimos en la fórmula: $$f'(x) = \frac{e^x \cdot (1 + x) - e^x \cdot 1}{(1 + x)^2}$$ Simplificamos el numerador factorizando $e^x$: $$f'(x) = \frac{e^x (1 + x - 1)}{(1 + x)^2} = \frac{x e^x}{(1 + x)^2}$$ 💡 **Tip:** Recuerda que la derivada de la función exponencial $e^x$ es ella misma, y para el cociente, el denominador siempre queda al cuadrado.

Una vez obtenida $f'(x)$, evaluamos en el punto de abscisa $x = 0$ sustituyendo el valor en la expresión: $$f'(0) = \frac{0 \cdot e^0}{(1 + 0)^2}$$ Sabemos que $e^0 = 1$, por lo tanto: $$f'(0) = \frac{0 \cdot 1}{1^2} = \frac{0}{1} = 0$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{f'(0) = 0}$$

**b) Estúdiense las asíntotas de la función $f(x) = \frac{x^3}{1 - x^2}.** Primero, determinamos el dominio de la función. Al ser una función racional, el dominio son todos los números reales excepto aquellos que anulan el denominador: $$1 - x^2 = 0 \implies x^2 = 1 \implies x = 1, \quad x = -1$$ Estudiamos los límites en estos puntos críticos para confirmar si son asíntotas verticales: - **En $x = -1$:** $$\lim_{x \to -1} \frac{x^3}{1 - x^2} = \frac{(-1)^3}{1 - (-1)^2} = \frac{-1}{0} = \infty$$ - **En $x = 1$:** $$\lim_{x \to 1} \frac{x^3}{1 - x^2} = \frac{1^3}{1 - 1^2} = \frac{1}{0} = \infty$$ 💡 **Tip:** Cuando el límite en un punto del dominio da infinito, existe una asíntota vertical en la recta $x = a$. ✅ **Resultado (Asíntotas Verticales):** $$\boxed{\text{Existen asíntotas verticales en } x = -1 \text{ y } x = 1}$$

Para buscar asíntotas horizontales, calculamos el límite de la función cuando $x$ tiende a infinito: $$\lim_{x \to \pm\infty} \frac{x^3}{1 - x^2}$$ Como el grado del numerador (3) es mayor que el grado del denominador (2), el límite será infinito: $$\lim_{x \to \pm\infty} \frac{x^3}{1 - x^2} = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{x^3}{-x^2} = \lim_{x \to \pm\infty} (-x) = \mp\infty$$ Al no ser un valor finito, **no existen asíntotas horizontales**. 💡 **Tip:** Si el grado del numerador es exactamente una unidad mayor que el del denominador, es muy probable que exista una asíntota oblicua.

Buscamos la ecuación de la recta $y = mx + n$. 1. Calculamos la pendiente $m$: $$m = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{f(x)}{x} = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{x^3}{x(1 - x^2)} = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{x^3}{x - x^3} = \frac{1}{-1} = -1$$ 2. Calculamos la ordenada en el origen $n$: $$n = \lim_{x \to \pm\infty} (f(x) - mx) = \lim_{x \to \pm\infty} \left( \frac{x^3}{1 - x^2} - (-1)x \right)$$ $$n = \lim_{x \to \pm\infty} \left( \frac{x^3}{1 - x^2} + x \right) = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{x^3 + x(1 - x^2)}{1 - x^2}$$ $$n = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{x^3 + x - x^3}{1 - x^2} = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{x}{1 - x^2} = 0$$ (Ya que el grado del denominador es mayor que el del numerador). ✅ **Resultado (Asíntota Oblicua):** $$\boxed{y = -x}$$