Probabilidad y Estadística 2017 Madrid
Probabilidad de avería en furgonetas según antigüedad
Ejercicio 4. (Calificación máxima: 2 puntos)
Una empresa de reparto de paquetería clasifica sus furgonetas en función de su antigüedad. El $25 \%$ de sus furgonetas tiene menos de dos años de antigüedad, el $40 \%$ tiene una antigüedad entre dos y cuatro años y el resto tiene una antigüedad superior a cuatro años. La probabilidad de que una furgoneta se estropee es $0'01$ si tiene una antigüedad inferior a dos años; $0'05$ si tiene una antigüedad entre dos y cuatro años y $0'12$ si tiene una antigüedad superior a cuatro años. Se escoge una furgoneta al azar de esta empresa. Calcúlese la probabilidad de que la furgoneta escogida:
a) Se estropee.
b) Tenga una antigüedad superior a cuatro años sabiendo que no se ha estropeado.
Paso 1
Definición de sucesos y esquema de árbol
En primer lugar, definimos los sucesos que intervienen en el problema basándonos en la antigüedad de las furgonetas y en si se estropean o no:
* $G_1$: La furgoneta tiene menos de 2 años.
* $G_2$: La furgoneta tiene entre 2 y 4 años.
* $G_3$: La furgoneta tiene más de 4 años.
* $E$: La furgoneta se estropea.
* $\bar{E}$: La furgoneta no se estropea (suceso contrario).
Organizamos los datos en un diagrama de árbol para visualizar las probabilidades. Calculamos primero la probabilidad de $G_3$ sabiendo que la suma total debe ser el $100\%$:
$$P(G_3) = 1 - P(G_1) - P(G_2) = 1 - 0'25 - 0'40 = 0'35$$
💡 **Tip:** Recuerda que en cada nodo del árbol, la suma de las probabilidades de las ramas que salen de él debe ser siempre $1$.
Paso 2
Cálculo de la probabilidad de que la furgoneta se estropee
**a) Se estropee.**
Para calcular la probabilidad total de que una furgoneta se estropee, $P(E)$, utilizamos el **Teorema de la Probabilidad Total**. Este teorema nos dice que debemos sumar la probabilidad de estropearse en cada uno de los tres grupos de antigüedad:
$$P(E) = P(G_1) \cdot P(E|G_1) + P(G_2) \cdot P(E|G_2) + P(G_3) \cdot P(E|G_3)$$
Sustituimos los valores conocidos:
$$P(E) = (0'25 \cdot 0'01) + (0'40 \cdot 0'05) + (0'35 \cdot 0'12)$$
Calculamos cada término por separado:
* $0'25 \cdot 0'01 = 0'0025$
* $0'40 \cdot 0'05 = 0'02$
* $0'35 \cdot 0'12 = 0'042$
Sumamos los resultados:
$$P(E) = 0'0025 + 0'02 + 0'042 = 0'0645$$
✅ **Resultado:**
$$\boxed{P(E) = 0'0645}$$
Paso 3
Cálculo de la probabilidad condicionada
**b) Tenga una antigüedad superior a cuatro años sabiendo que no se ha estropeado.**
Se nos pide calcular una probabilidad a posteriori, es decir, la probabilidad de que pertenezca al grupo $G_3$ dado que sabemos que no se ha estropeado ($\bar{E}$). Usaremos el **Teorema de Bayes**:
$$P(G_3 | \bar{E}) = \frac{P(G_3 \cap \bar{E})}{P(\bar{E})}$$
Primero, calculamos la probabilidad de que no se estropee, $P(\bar{E})$, usando el suceso contrario:
$$P(\bar{E}) = 1 - P(E) = 1 - 0'0645 = 0'9355$$
Ahora calculamos el numerador $P(G_3 \cap \bar{E})$, que es la probabilidad de que sea del tercer grupo y no se estropee:
$$P(G_3 \cap \bar{E}) = P(G_3) \cdot P(\bar{E}|G_3)$$
Sabiendo que $P(E|G_3) = 0'12$, entonces $P(\bar{E}|G_3) = 1 - 0'12 = 0'88$:
$$P(G_3 \cap \bar{E}) = 0'35 \cdot 0'88 = 0'308$$
Finalmente, aplicamos la fórmula de Bayes:
$$P(G_3 | \bar{E}) = \frac{0'308}{0'9355} \approx 0'3292$$
💡 **Tip:** La probabilidad condicionada $P(A|B)$ se interpreta como "probabilidad de que ocurra A sabiendo que ya ha ocurrido B".
✅ **Resultado:**
$$\boxed{P(G_3 | \bar{E}) \approx 0'3292}$$
*(También se puede expresar como fracción: $\frac{616}{1871}$)*