Intervalo de confianza y tamaño muestral para la media

**a) Se tomó una muestra aleatoria simple de $324$ corderos y el peso medio observado fue $\bar{x} = 7'8$ kg. Obténgase un intervalo de confianza con un nivel del $99'2 \%$ para $\mu$.** Primero definimos la variable aleatoria y extraemos los datos del enunciado: - $X$: Peso en canal de un cordero (en kg). - La distribución es normal: $X \sim N(\mu, \sigma) = N(\mu, 0'9)$. - Tamaño de la muestra: $n = 324$. - Media muestral: $\bar{x} = 7'8$ kg. - Nivel de confianza: $1 - \alpha = 0'992$ (es decir, el $99'2 \%$). 💡 **Tip:** En problemas de inferencia para la media con desviación típica poblacional ($\sigma$) conocida, el intervalo de confianza tiene la forma: $I.C. = (\bar{x} - E, \bar{x} + E)$, donde $E$ es el error máximo admisible.

Para un nivel de confianza del $99'2 \%$, calculamos el valor crítico $z_{\alpha/2}$: 1. Calculamos $\alpha$: $1 - \alpha = 0'992 \implies \alpha = 1 - 0'992 = 0'008$. 2. Dividimos entre dos: $\alpha/2 = 0'004$. 3. Buscamos el valor $z_{\alpha/2}$ tal que la probabilidad acumulada sea: $$P(Z \le z_{\alpha/2}) = 1 - \frac{\alpha}{2} = 1 - 0'004 = 0'996.$$ Buscando en la tabla de la distribución normal estándar $N(0, 1)$, el valor que corresponde a una probabilidad de $0'996$ es: $$\boxed{z_{\alpha/2} = 2'65}$$ 💡 **Tip:** Recuerda que el nivel de confianza es el área central bajo la curva normal. El área en cada una de las dos colas es $\alpha/2$.

Calculamos el error máximo admisible ($E$) mediante la fórmula: $$E = z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$$ Sustituimos los valores conocidos: $$E = 2'65 \cdot \frac{0'9}{\sqrt{324}} = 2'65 \cdot \frac{0'9}{18} = 2'65 \cdot 0'05 = 0'1325.$$ Ahora construimos el intervalo $(\bar{x} - E, \bar{x} + E)$: - Límite inferior: $7'8 - 0'1325 = 7'6675$. - Límite superior: $7'8 + 0'1325 = 7'9325$. ✅ **Resultado del apartado a):** $$\boxed{I.C. = (7'6675, \, 7'9325)}$$

**b) Determínese el tamaño mínimo que debería tener una muestra aleatoria simple de la variable para que el correspondiente intervalo de confianza para $\mu$ al $95 \%$ tenga una amplitud a lo sumo de $0'2$ kg.** En este apartado cambian las condiciones: - Nivel de confianza: $1 - \alpha = 0'95$. - Amplitud del intervalo: $A \le 0'2$. Sabemos que la amplitud del intervalo es el doble del error ($A = 2E$). Por tanto: $$2E \le 0'2 \implies E \le 0'1.$$ Para $1 - \alpha = 0'95$, calculamos el nuevo valor crítico: 1. $P(Z \le z_{\alpha/2}) = 1 - \frac{0'05}{2} = 0'975$. 2. Mirando las tablas, obtenemos el valor típico: $$\boxed{z_{\alpha/2} = 1'96}$$ 💡 **Tip:** La amplitud es la "distancia" total del intervalo. Como el intervalo es $\bar{x} \pm E$, la distancia total desde el límite inferior al superior es siempre $2E$.

Utilizamos la fórmula del error para despejar $n$: $$E = z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \le 0'1$$ Sustituimos los datos: $$1'96 \cdot \frac{0'9}{\sqrt{n}} \le 0'1$$ $$\frac{1'764}{\sqrt{n}} \le 0'1 \implies 1'764 \le 0'1 \cdot \sqrt{n}$$ $$\frac{1'764}{0'1} \le \sqrt{n} \implies 17'64 \le \sqrt{n}$$ Elevamos al cuadrado para despejar $n$: $$n \ge (17'64)^2 = 311'1696.$$ Como el tamaño de la muestra debe ser un número entero y buscamos el mínimo que cumpla la condición (que el error sea menor o igual a $0'1$), debemos redondear siempre al entero superior. ✅ **Resultado del apartado b):** $$\boxed{n = 312 \text{ corderos}}$$