Discusión y resolución de un sistema homogéneo con parámetro

**a) Discútase en función de los valores del parámetro $a$.** En primer lugar, observamos que se trata de un **sistema de ecuaciones lineal homogéneo** (todos los términos independientes son cero). Esto implica que el sistema siempre es **compatible** (tiene solución), ya que al menos admite la solución trivial $(x, y, z) = (0, 0, 0)$. Para discutirlo, escribimos la matriz de coeficientes $A$: $$A = \begin{pmatrix} 1 & -a & 2 \\ a & -4 & -4 \\ 2-a & 3 & -2 \end{pmatrix}$$ 💡 **Tip:** En un sistema homogéneo, el rango de la matriz de coeficientes $rg(A)$ siempre es igual al rango de la matriz ampliada $rg(A^*)$. Por tanto, el sistema nunca será incompatible.

Para estudiar el rango de $A$, calculamos su determinante $|A|$ utilizando la regla de Sarrus: $$|A| = \begin{vmatrix} 1 & -a & 2 \\ a & -4 & -4 \\ 2-a & 3 & -2 \end{vmatrix}$$ $$|A| = [1 \cdot (-4) \cdot (-2) + (-a) \cdot (-4) \cdot (2-a) + 2 \cdot a \cdot 3] - [2 \cdot (-4) \cdot (2-a) + 1 \cdot (-4) \cdot 3 + (-a) \cdot a \cdot (-2)]$$ Operamos cada término: - Parte positiva: $8 + 4a(2-a) + 6a = 8 + 8a - 4a^2 + 6a = -4a^2 + 14a + 8$ - Parte negativa: $-8(2-a) - 12 + 2a^2 = -16 + 8a - 12 + 2a^2 = 2a^2 + 8a - 28$ Restamos los resultados: $$|A| = (-4a^2 + 14a + 8) - (2a^2 + 8a - 28)$$ $$|A| = -4a^2 + 14a + 8 - 2a^2 - 8a + 28$$ $$|A| = -6a^2 + 6a + 36$$ 💡 **Tip:** Recuerda la regla de Sarrus para un determinante $3 \times 3$: suma de los productos de la diagonal principal y sus paralelas, menos la suma de los productos de la diagonal secundaria y sus paralelas.

Igualamos el determinante a cero para hallar los valores de $a$ que cambian el rango de la matriz: $$-6a^2 + 6a + 36 = 0$$ Podemos simplificar dividiendo toda la ecuación por $-6$: $$a^2 - a - 6 = 0$$ Resolvemos la ecuación de segundo grado: $$a = \frac{-(-1) \pm \sqrt{(-1)^2 - 4(1)(-6)}}{2(1)} = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 24}}{2} = \frac{1 \pm 5}{2}$$ Obtenemos dos valores: - $a_1 = \frac{6}{2} = 3$ - $a_2 = \frac{-4}{2} = -2$ Los valores que anulan el determinante son **$a = 3$ y $a = -2$**.

Aplicamos el teorema de Rouché-Frobenius para clasificar el sistema: 1. **Caso $a \neq 3$ y $a \neq -2$**: En este caso, $|A| \neq 0$, por lo que $rg(A) = 3$. Como el rango es igual al número de incógnitas, el sistema es **Sistema Compatible Determinado (SCD)**. La única solución es la solución trivial: **$(0, 0, 0)$**. 2. **Caso $a = 3$ o $a = -2$**: En este caso, $|A| = 0$, por lo que $rg(A) < 3$. Al ser un sistema homogéneo, el sistema es **Sistema Compatible Indeterminado (SCI)**. Tiene infinitas soluciones además de la trivial. ✅ **Resultado (Discusión):** $$\boxed{\begin{cases} a \neq 3, a \neq -2 \implies \text{SCD (Solución única trivial)} \\ a = 3, a = -2 \implies \text{SCI (Infinitas soluciones)} \end{cases}}$$

**b) Resuélvase para $a = 3$.** Sustituimos $a = 3$ en el sistema original: $$\begin{cases} x - 3y + 2z = 0 \\ 3x - 4y - 4z = 0 \\ -x + 3y - 2z = 0 \end{cases}$$ Observamos que la primera y la tercera ecuación son proporcionales (la tercera es la primera multiplicada por $-1$): $E_3 = -1 \cdot E_1$. Por tanto, podemos eliminar la tercera ecuación para quedarnos con un sistema de dos ecuaciones con tres incógnitas: $$\begin{cases} x - 3y + 2z = 0 \\ 3x - 4y - 4z = 0 \end{cases}$$ 💡 **Tip:** En un SCI, siempre habrá al menos una ecuación redundante que podemos descartar si es combinación lineal de las otras.

Para resolver el sistema, asignamos un parámetro a una de las variables. Sea **$z = \lambda$**: $$\begin{cases} x - 3y = -2\lambda \\ 3x - 4y = 4\lambda \end{cases}$$ Resolvemos por el método de reducción. Multiplicamos la primera ecuación por $-3$: $$\begin{cases} -3x + 9y = 6\lambda \\ 3x - 4y = 4\lambda \end{cases}$$ Sumamos ambas ecuaciones: $$5y = 10\lambda \implies \mathbf{y = 2\lambda}$$ Sustituimos $y$ en la primera ecuación original: $$x - 3(2\lambda) = -2\lambda$$ $$x - 6\lambda = -2\lambda \implies \mathbf{x = 4\lambda}$$ La solución depende del parámetro real $\lambda$. ✅ **Resultado (Solución para $a=3$):** $$\boxed{\begin{cases} x = 4\lambda \\ y = 2\lambda \\ z = \lambda \end{cases} \quad \forall \lambda \in \mathbb{R}}$$