Límites y estudio de la monotonía

**a) Calcúlense $\lim_{x \to 1} \frac{f(x)}{1 - x^3}$ y $\lim_{x \to 0} \frac{f(x)}{x}.$** Para el primer límite, sustituimos $f(x) = x^3 - 3x$ y evaluamos en $x = 1$: $$\lim_{x \to 1} \frac{x^3 - 3x}{1 - x^3} = \frac{1^3 - 3(1)}{1 - 1^3} = \frac{-2}{0}$$ Cuando obtenemos un número distinto de cero dividido por cero, el límite es infinito. Para conocer el comportamiento exacto, debemos calcular los **límites laterales** analizando el signo del denominador: 1. Por la izquierda ($x \to 1^-$): Si $x = 0,9$, el denominador $1 - x^3$ es positivo ($0,271$). $$\lim_{x \to 1^-} \frac{x^3 - 3x}{1 - x^3} = \frac{-2}{0^+} = -\infty$$ 2. Por la derecha ($x \to 1^+$): Si $x = 1,1$, el denominador $1 - x^3$ es negativo ($-0,331$). $$\lim_{x \to 1^+} \frac{x^3 - 3x}{1 - x^3} = \frac{-2}{0^-} = +\infty$$ Como los límites laterales no coinciden, el límite general no existe como valor único, aunque diverge a infinito. 💡 **Tip:** Cuando un límite resulta en $k/0$ (con $k \neq 0$), siempre debemos estudiar los límites laterales para determinar si tiende a $+\infty$ o $-\infty$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\lim_{x \to 1} \frac{x^3 - 3x}{1 - x^3} \text{ no existe (límites laterales } -\infty \text{ y } +\infty)}$$

Para el segundo límite, evaluamos en $x = 0$: $$\lim_{x \to 0} \frac{x^3 - 3x}{x} = \frac{0^3 - 3(0)}{0} = \frac{0}{0}$$ Como obtenemos una indeterminación del tipo $\frac{0}{0}$, aplicamos la **regla de L'Hôpital**, que consiste en derivar el numerador y el denominador por separado: - Derivada del numerador: $(x^3 - 3x)' = 3x^2 - 3$ - Derivada del denominador: $(x)' = 1$ Calculamos el nuevo límite: $$\lim_{x \to 0} \frac{3x^2 - 3}{1} = \frac{3(0)^2 - 3}{1} = -3$$ 💡 **Tip:** La regla de L'Hôpital es muy útil para resolver indeterminaciones $\frac{0}{0}$ o $\frac{\infty}{\infty}$ en funciones derivables. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\lim_{x \to 0} \frac{x^3 - 3x}{x} = -3}$$

**b) Estúdiense los intervalos de crecimiento y decrecimiento de $f(x)$.** Para estudiar la monotonía de $f(x) = x^3 - 3x$, primero calculamos su primera derivada: $$f'(x) = 3x^2 - 3$$ Buscamos los puntos críticos igualando la derivada a cero: $$3x^2 - 3 = 0 \implies 3x^2 = 3 \implies x^2 = 1$$ $$x = \pm \sqrt{1} \implies x_1 = -1, \quad x_2 = 1$$ Estos puntos dividen la recta real en tres intervalos: $(-\infty, -1)$, $(-1, 1)$ y $(1, +\infty)$. 💡 **Tip:** Los intervalos de crecimiento y decrecimiento dependen del signo de la primera derivada $f'(x)$. Si $f'(x) > 0$ la función crece; si $f'(x) < 0$ decrece.

Estudiamos el signo de $f'(x) = 3x^2 - 3$ en cada intervalo eligiendo valores de prueba: - Para $(-\infty, -1)$, tomamos $x = -2$: $f'(-2) = 3(-2)^2 - 3 = 12 - 3 = 9 > 0$ (**Creciente**). - Para $(-1, 1)$, tomamos $x = 0$: $f'(0) = 3(0)^2 - 3 = -3 < 0$ (**Decreciente**). - Para $(1, +\infty)$, tomamos $x = 2$: $f'(2) = 3(2)^2 - 3 = 12 - 3 = 9 > 0$ (**Creciente**). **Representación gráfica del signo de $f'(x)$:** $$\begin{array}{c|ccccc} x & (-\infty,-1) & -1 & (-1,1) & 1 & (1,+\infty)\\\hline f'(x) & + & 0 & - & 0 & + \\ \text{Monotonía} & \nearrow & \text{Máximo} & \searrow & \text{Mínimo} & \nearrow \end{array}$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{\begin{aligned} & \text{Crecimiento: } (-\infty, -1) \cup (1, +\infty) \\ & \text{Decrecimiento: } (-1, 1) \end{aligned}}$$