Continuidad de una función a trozos e integral definida

**a) Estúdiese la continuidad de $f(x)$ en $\mathbb{R}$.** Para estudiar la continuidad de una función definida a trozos, debemos analizar tanto la continuidad de cada una de sus ramas en sus respectivos intervalos como el comportamiento en los puntos de salto entre ramas. La función es: $$f(x) = \begin{cases} \frac{2}{x + 2} & \text{si } x \le 0 \\ x + 2 & \text{si } x > 0 \end{cases}$$ 1. **Rama 1 ($x \le 0$):** La función es $f_1(x) = \frac{2}{x+2}$. Es una función racional cuyo denominador se anula en $x+2=0 \implies x = -2$. Como $-2 \le 0$, el punto $x = -2$ pertenece al dominio de esta rama. Por tanto, en **$x = -2$ hay una discontinuidad de salto infinito**. 2. **Rama 2 ($x > 0$):** La función es $f_2(x) = x + 2$. Al ser un polinomio de primer grado, es continua en todo su intervalo $(0, +\infty)$. 💡 **Tip:** Recuerda que las funciones racionales son continuas en todo su dominio excepto donde el denominador es igual a cero.

Ahora analizamos el punto donde cambia la definición de la función, $x = 0$. Para que la función sea continua en este punto, deben coincidir el valor de la función y sus límites laterales. - **Valor de la función:** $$f(0) = \frac{2}{0+2} = \frac{2}{2} = 1$$ - **Límite por la izquierda ($x \to 0^-$):** $$\lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0^-} \frac{2}{x+2} = \frac{2}{0+2} = 1$$ - **Límite por la derecha ($x \to 0^+$):** $$\lim_{x \to 0^+} f(x) = \lim_{x \to 0^+} (x+2) = 0+2 = 2$$ Como los límites laterales son finitos pero distintos ($1 \neq 2$), existe una **discontinuidad de salto finito** en $x = 0$. 💡 **Tip:** Una función es continua en un punto $a$ si $\lim_{x \to a^-} f(x) = \lim_{x \to a^+} f(x) = f(a)$.

Resumiendo el análisis realizado en los pasos anteriores: - La función es continua en $\mathbb{R} \setminus \{-2, 0\}$. - En **$x = -2$** hay una **discontinuidad de salto infinito** (ya que $\lim_{x \to -2} f(x) = \infty$). - En **$x = 0$** hay una **discontinuidad de salto finito** de longitud $|2 - 1| = 1$. ✅ **Resultado final:** $$\boxed{f(x) \text{ es continua en } \mathbb{R} \setminus \{-2, 0\}}$$

**b) Calcúlese $\int_1^0 f(x) dx$.** Primero, observamos que el intervalo de integración es $[0, 1]$ (aunque los límites estén invertidos). En este intervalo ($x > 0$), la función que debemos usar es la segunda rama: $f(x) = x + 2$. Propiedad de los límites de integración: $$\int_1^0 f(x) dx = -\int_0^1 f(x) dx$$ Calculamos la integral de la función $f(x) = x+2$: $$\int_0^1 (x+2) dx = \left[ \frac{x^2}{2} + 2x \right]_0^1$$ Aplicamos la **Regla de Barrow** paso a paso: - Para $x = 1$: $G(1) = \frac{1^2}{2} + 2(1) = \frac{1}{2} + 2 = \frac{5}{2} = 2.5$ - Para $x = 0$: $G(0) = \frac{0^2}{2} + 2(0) = 0$ Entonces: $$\int_0^1 (x+2) dx = 2.5 - 0 = 2.5$$ Finalmente, recuperamos el signo negativo del cambio de límites inicial: $$\int_1^0 f(x) dx = -(2.5) = -2.5$$ 💡 **Tip:** Recuerda que $\int_a^b f(x) dx = -\int_b^a f(x) dx$. Si intercambias los límites, el signo del resultado cambia. ✅ **Resultado final:** $$\boxed{\int_1^0 f(x) dx = -\frac{5}{2} = -2.5}$$