Probabilidad condicionada y sucesos independientes

**a) No lea prensa al menos una vez por semana.** En primer lugar, definimos los sucesos del enunciado para trabajar con claridad: - $J$: La persona es joven. - $J^c$: La persona no es joven (adulta o mayor). - $P$: La persona lee prensa al menos una vez por semana. - $P^c$: La persona no lee prensa al menos una vez por semana. Extraemos los datos proporcionados: - $P(J) = 30\% = 0,3 \implies P(J^c) = 1 - 0,3 = 0,7$ - Probabilidad de leer prensa siendo joven (condicionada): $P(P|J) = 0,20$ - Probabilidad de no ser joven si lee prensa (condicionada): $P(J^c|P) = 0,9$ 💡 **Tip:** En probabilidad, "no ser joven" es el suceso complementario de "ser joven", y se denota habitualmente como $J^c$ o $\bar{J}$.

Para responder al apartado (a), necesitamos hallar $P(P^c)$, que es $1 - P(P)$. Calcularemos primero $P(P)$ utilizando los datos de las intersecciones. 1. Calculamos la probabilidad de ser joven y leer prensa: $$P(J \cap P) = P(J) \cdot P(P|J) = 0,3 \cdot 0,20 = 0,06$$ 2. Usamos la probabilidad condicionada $P(J^c|P) = 0,9$: Sabemos que $P(J^c|P) = \dfrac{P(J^c \cap P)}{P(P)} = 0,9$, de donde despejamos: $$P(J^c \cap P) = 0,9 \cdot P(P)$$ 3. Aplicamos el Teorema de la Probabilidad Total para el suceso $P$: $$P(P) = P(J \cap P) + P(J^c \cap P)$$ Sustituimos los valores obtenidos: $$P(P) = 0,06 + 0,9 \cdot P(P)$$ $$P(P) - 0,9 \cdot P(P) = 0,06 \implies 0,1 \cdot P(P) = 0,06$$ $$P(P) = \frac{0,06}{0,1} = 0,6$$ 💡 **Tip:** Recuerda que cualquier suceso $A$ se puede descomponer según un suceso $B$ y su contrario: $P(A) = P(A \cap B) + P(A \cap B^c)$.

Para visualizar mejor todos los datos, construimos una tabla de contingencia con los valores obtenidos: - $P(P) = 0,6 \implies P(P^c) = 0,4$ - $P(J \cap P) = 0,06$ - $P(J^c \cap P) = 0,6 - 0,06 = 0,54$ - $P(J \cap P^c) = P(J) - P(J \cap P) = 0,3 - 0,06 = 0,24$ - $P(J^c \cap P^c) = P(J^c) - P(J^c \cap P) = 0,7 - 0,54 = 0,16$ $$\begin{array}{c|cc|c} & J & J^c & \text{Total} \\ \hline P & 0,06 & 0,54 & 0,60 \\ P^c & 0,24 & 0,16 & 0,40 \\ \hline \text{Total} & 0,30 & 0,70 & 1,00 \end{array}$$ 💡 **Tip:** Las tablas de contingencia son muy útiles en Selectividad porque permiten verificar que todas las sumas de filas y columnas coinciden con los totales.

La probabilidad de que una persona no lea prensa al menos una vez por semana es $P(P^c)$. Directamente de la tabla anterior o del cálculo previo de $P(P)$: $$P(P^c) = 1 - P(P) = 1 - 0,6 = 0,4$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(P^c) = 0,4}$$

**b) No lea prensa al menos una vez por semana o no sea joven.** Nos piden calcular la probabilidad de la unión de dos sucesos: $P(P^c \cup J^c)$. Podemos resolverlo utilizando las Leyes de De Morgan, que relacionan la unión de complementarios con la intersección: $$P(P^c \cup J^c) = P((P \cap J)^c)$$ Como sabemos que $P((P \cap J)^c) = 1 - P(P \cap J)$: Sustituimos el valor de $P(P \cap J) = 0,06$ que calculamos en el paso 2: $$P(P^c \cup J^c) = 1 - 0,06 = 0,94$$ También podríamos haber sumado los elementos de la tabla que cumplen alguna de las dos condiciones: $$P(P^c \cup J^c) = P(P^c \cap J) + P(P^c \cap J^c) + P(P \cap J^c) = 0,24 + 0,16 + 0,54 = 0,94$$ 💡 **Tip:** Ley de De Morgan: El complementario de la intersección es la unión de los complementarios: $(A \cap B)^c = A^c \cup B^c$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(P^c \cup J^c) = 0,94}$$