Inferencia estadística: Intervalo de confianza y probabilidad de la suma

**a) Si la media de la muestra es $\bar{x} = 25'9T$, obténgase un intervalo de confianza con un nivel del $90 \%$ para $\mu$.** Primero identificamos los datos proporcionados por el enunciado para la variable aleatoria $X$, que representa el peso de un contenedor: - Población: $X \sim N(\mu, \sigma=3)$. - Tamaño de la muestra: $n = 484$. - Media muestral: $\bar{x} = 25.9$. - Nivel de confianza: $1 - \alpha = 0.90$. 💡 **Tip:** En problemas de inferencia, lo primero es distinguir si nos piden un intervalo para la media o una probabilidad sobre la muestra. Para el intervalo, necesitamos calcular el valor crítico $z_{\alpha/2}$ asociado al nivel de confianza.

Para un nivel de confianza del $90 \%$, calculamos el valor crítico $z_{\alpha/2}$: 1. Hallamos $\alpha$: $1 - \alpha = 0.90 \implies \alpha = 0.10$. 2. Repartimos el error en las dos colas: $\alpha/2 = 0.05$. 3. Buscamos el valor de $z_{\alpha/2}$ tal que $P(Z \le z_{\alpha/2}) = 1 - 0.05 = 0.95$. Consultando la tabla de la distribución normal $N(0,1)$: El valor $0.95$ se encuentra exactamente entre $z = 1.64$ y $z = 1.65$. Tomamos el valor medio: $$z_{\alpha/2} = 1.645.$$ 💡 **Tip:** Recuerda que el nivel de confianza es el área central. El valor crítico deja a su derecha un área de $\alpha/2$.

La fórmula del intervalo de confianza para la media poblacional $\mu$ es: $$I.C. = \left( \bar{x} - z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}}, \bar{x} + z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \right)$$ Calculamos el error máximo admisible $E$: $$E = z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}} = 1.645 \cdot \frac{3}{\sqrt{484}} = 1.645 \cdot \frac{3}{22}$$ $$E = 1.645 \cdot 0.13636 \approx 0.2243$$ Sustituimos en el intervalo: $$I.C. = (25.9 - 0.2243, 25.9 + 0.2243) = (25.6757, 26.1243)$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{I.C. = (25.6757, 26.1243)}$$

**b) Supóngase ahora que $\mu = 23T$. Calcúlese la probabilidad de que puedan transportarse en un barco cuya capacidad máxima es de $11000T$.** Nos piden la probabilidad de que la suma de los pesos de los $484$ contenedores no supere las $11000$ toneladas. Sea $S = X_1 + X_2 + ... + X_{484}$ el peso total. La suma de variables normales independientes sigue una distribución normal: - Media de la suma: $\mu_S = n \cdot \mu = 484 \cdot 23 = 11132$. - Desviación típica de la suma: $\sigma_S = \sigma \cdot \sqrt{n} = 3 \cdot \sqrt{484} = 3 \cdot 22 = 66$. Por tanto, la variable peso total es $S \sim N(11132, 66)$. 💡 **Tip:** También podrías resolverlo usando la media muestral $\bar{X} \sim N(\mu, \sigma/\sqrt{n})$ y calculando $P(\bar{X} \le 11000/484)$, el resultado es idéntico.

Queremos calcular $P(S \le 11000)$. Para ello, tipificamos la variable $S$ para pasar a una normal estándar $Z \sim N(0,1)$: $$Z = \frac{S - \mu_S}{\sigma_S} = \frac{11000 - 11132}{66}$$ $$Z = \frac{-132}{66} = -2$$ Entonces: $$P(S \le 11000) = P(Z \le -2)$$ Por simetría de la campana de Gauss: $$P(Z \le -2) = P(Z \ge 2) = 1 - P(Z \le 2)$$ Buscamos el valor para $2.00$ en la tabla de la normal: $$P(Z \le 2) = 0.9772$$ $$P(S \le 11000) = 1 - 0.9772 = 0.0228$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(S \le 11000) = 0.0228}$$