Álgebra 2018 Andalucia
Optimización de la producción mediante programación lineal
EJERCICIO 1
(2.5 puntos) Una joyería elabora dos tipos de collares a partir de perlas blancas, grises y negras. Para un collar de tipo A hacen falta 20 perlas blancas, 20 grises y 30 negras, mientras que para un collar del tipo B, 10 perlas blancas, 20 grises y 60 negras. Se dispone de un máximo de 900 perlas blancas y 1400 grises, mientras que es necesario que se utilicen al menos 1800 perlas negras.
Sabiendo que cada collar del tipo A le supone a la joyería un beneficio de 600 euros y cada collar del tipo B, 500 euros, calcule cuál debe ser la producción para obtener el máximo beneficio, así como a cuánto asciende el mismo. ¿Es posible fabricar 40 collares del tipo A y 20 del tipo B?
Paso 1
Definición de variables y función objetivo
**Calcule cuál debe ser la producción para obtener el máximo beneficio, así como a cuánto asciende el mismo. ¿Es posible fabricar 40 collares del tipo A y 20 del tipo B?**
Primero, definimos las variables de decisión que representan las cantidades que queremos calcular:
- $x$: número de collares del tipo A.
- $y$: número de collares del tipo B.
El objetivo es maximizar el beneficio total. Según el enunciado, el beneficio por cada collar A es de 600 € y por cada collar B es de 500 €. Por tanto, la **función objetivo** es:
$$f(x, y) = 600x + 500y$$
💡 **Tip:** En problemas de programación lineal, siempre empieza identificando qué representan $x$ e $y$ y qué función quieres maximizar o minimizar.
Paso 2
Planteamiento de las restricciones
A continuación, traducimos las limitaciones de perlas a desigualdades matemáticas (restricciones):
1. **Perlas blancas:** Se usan 20 para A y 10 para B, con un máximo de 900.
$$20x + 10y \le 900 \implies 2x + y \le 90$$
2. **Perlas grises:** Se usan 20 para A y 20 para B, con un máximo de 1400.
$$20x + 20y \le 1400 \implies x + y \le 70$$
3. **Perlas negras:** Se usan 30 para A y 60 para B, con un mínimo de 1800.
$$30x + 60y \ge 1800 \implies x + 2y \ge 60$$
4. **No negatividad:** No se pueden fabricar cantidades negativas.
$$x \ge 0, \quad y \ge 0$$
💡 **Tip:** Simplificar las ecuaciones (dividiendo por el máximo común divisor) facilita mucho los cálculos posteriores de los vértices.
Paso 3
Representación de la región factible
La región factible es el área del plano que cumple todas las restricciones simultáneamente. Para dibujarla, representamos las rectas asociadas a cada restricción y determinamos el semiplano correspondiente.
Las rectas de frontera son:
- $r_1: 2x + y = 90$ (Pasa por $(0,90)$ y $(45,0)$)
- $r_2: x + y = 70$ (Pasa por $(0,70)$ y $(70,0)$)
- $r_3: x + 2y = 60$ (Pasa por $(0,30)$ y $(60,0)$)
La región resultante es un polígono cuyos vértices debemos calcular para encontrar el máximo.
Paso 4
Cálculo de los vértices de la región factible
Los vértices de la región factible se obtienen resolviendo los sistemas de ecuaciones de las rectas que se cortan:
- **Vértice A (Eje Y):** Intersección de $x = 0$ y $r_2 (x+y=70) \implies A(0, 70)$.
- **Vértice B:** Intersección de $r_1$ y $r_2$:
$$\begin{cases} 2x + y = 90 \\ x + y = 70 \end{cases} \implies (2x+y) - (x+y) = 90-70 \implies x=20, y=50 \implies B(20, 50)$$
- **Vértice C:** Intersección de $r_1$ y $r_3$:
$$\begin{cases} 2x + y = 90 \to y = 90 - 2x \\ x + 2y = 60 \end{cases} \implies x + 2(90 - 2x) = 60 \implies -3x = -120 \implies x=40, y=10 \implies C(40, 10)$$
- **Vértice D (Eje Y):** Intersección de $x = 0$ y $r_3 (x+2y=60) \implies D(0, 30)$.
💡 **Tip:** Comprueba siempre que los puntos obtenidos cumplen todas las demás restricciones para asegurar que pertenecen a la región factible.
$$\text{Vértices: } \boxed{A(0, 70), B(20, 50), C(40, 10), D(0, 30)}$$
Paso 5
Evaluación de la función objetivo y solución óptima
Evaluamos $f(x, y) = 600x + 500y$ en cada uno de los vértices:
- $f(A) = f(0, 70) = 600(0) + 500(70) = 35000\text{ €}$
- $f(B) = f(20, 50) = 600(20) + 500(50) = 12000 + 25000 = 37000\text{ €}$
- $f(C) = f(40, 10) = 600(40) + 500(10) = 24000 + 5000 = 29000\text{ €}$
- $f(D) = f(0, 30) = 600(0) + 500(30) = 15000\text{ €}$
El valor máximo es de **37000 €**, que se alcanza fabricando **20 collares del tipo A y 50 del tipo B**.
✅ **Resultado:**
$$\boxed{\text{Producción: 20 collares A y 50 collares B. Beneficio máximo: 37000 €}}$$
Paso 6
Comprobación de la posibilidad de fabricar (40, 20)
Para saber si es posible fabricar 40 collares tipo A ($x=40$) y 20 tipo B ($y=20$), comprobamos si el punto $(40, 20)$ cumple todas las restricciones:
1. **Blancas:** $20(40) + 10(20) = 800 + 200 = 1000$. Como $1000 \gt 900$, **no se cumple** la restricción de perlas blancas.
2. **Grises:** $20(40) + 20(20) = 800 + 400 = 1200 \le 1400$. (Cumple).
3. **Negras:** $30(40) + 60(20) = 1200 + 1200 = 2400 \ge 1800$. (Cumple).
Al no cumplir la primera restricción, **no es posible** realizar esa producción.
✅ **Resultado:**
$$\boxed{\text{No es posible, ya que se necesitarían 1000 perlas blancas y solo hay 900 disponibles}}$$