Estudio de costes de producción

**a) (1.25 puntos) Obtenga los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función de costes de la empresa.** En primer lugar, identificamos la función de costes $f(x) = 30 - 9x + 6x^2 - x^3$ y su dominio de definición. Como la capacidad máxima es de 2 toneladas y la producción no puede ser negativa, el dominio es el intervalo $[0, 2]$. Para estudiar el crecimiento y decrecimiento, calculamos la primera derivada de la función: $$f'(x) = (30)' - (9x)' + (6x^2)' - (x^3)'$$ $$f'(x) = 0 - 9 + 12x - 3x^2$$ $$f'(x) = -3x^2 + 12x - 9$$ 💡 **Tip:** Recuerda que para derivar potencias usamos la regla $(x^n)' = n \cdot x^{n-1}$.

Igualamos la derivada a cero para encontrar los posibles máximos y mínimos (puntos críticos): $$-3x^2 + 12x - 9 = 0$$ Podemos simplificar la ecuación dividiendo todos los términos por $-3$: $$x^2 - 4x + 3 = 0$$ Resolvemos la ecuación de segundo grado: $$x = \frac{-(-4) \pm \sqrt{(-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1} = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 12}}{2} = \frac{4 \pm \sqrt{4}}{2} = \frac{4 \pm 2}{2}$$ Obtenemos dos soluciones: - $x_1 = \frac{6}{2} = 3$ - $x_2 = \frac{2}{2} = 1$ Como nuestro dominio es $[0, 2]$, el valor $x = 3$ queda fuera del estudio. El único punto crítico a considerar es **$x = 1$**.

Analizamos el signo de $f'(x)$ en los intervalos determinados por el punto crítico dentro del dominio $[0, 2]$: $$\begin{array}{c|ccc} x & (0,1) & 1 & (1,2) \\\hline f'(x) & - & 0 & + \\\hline \text{Comportamiento} & \text{Decreciente} & \text{Mínimo} & \text{Creciente} \end{array}$$ - En el intervalo $(0, 1)$, probamos con $x = 0.5$: $f'(0.5) = -3(0.5)^2 + 12(0.5) - 9 = -3.75 \lt 0$ (**Decreciente**). - En el intervalo $(1, 2)$, probamos con $x = 1.5$: $f'(1.5) = -3(1.5)^2 + 12(1.5) - 9 = 2.25 \gt 0$ (**Creciente**). ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Decreciente en } (0, 1) \text{ e Creciente en } (1, 2)}$$

**b) (0.75 puntos) Determine la cantidad que la empresa debe producir para minimizar los costes. ¿Cuál sería dicho coste mínimo?** Según el estudio de la monotonía anterior, existe un mínimo relativo en $x = 1$ tonelada, ya que la función pasa de decrecer a crecer. Calculamos el valor del coste para esa producción sustituyendo $x = 1$ en la función original $f(x)$: $$f(1) = 30 - 9(1) + 6(1)^2 - (1)^3$$ $$f(1) = 30 - 9 + 6 - 1 = 26$$ Como la función está en miles de euros, el coste es de $26,000$ euros. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Producción: } 1 \text{ tonelada. Coste mínimo: } 26 \text{ mil euros ($26.000$ €)}} $$

**c) (0.5 puntos) ¿Con qué producción la empresa tiene unos costes de producción máximos?** Para hallar el máximo absoluto en un intervalo cerrado $[0, 2]$, debemos comparar los valores de la función en los extremos del intervalo y en los puntos críticos (aunque en $x=1$ ya sabemos que hay un mínimo). 1. **En el extremo izquierdo ($x = 0$):** $$f(0) = 30 - 9(0) + 6(0)^2 - (0)^3 = 30$$ 2. **En el punto crítico ($x = 1$):** $$f(1) = 26 \text{ (ya calculado anteriormente)}$$ 3. **En el extremo derecho ($x = 2$):** $$f(2) = 30 - 9(2) + 6(2)^2 - (2)^3 = 30 - 18 + 24 - 8 = 28$$ Comparando los valores: $30 \gt 28 \gt 26$. El valor máximo ocurre cuando la producción es $0$ toneladas. 💡 **Tip:** En problemas con intervalos cerrados, los extremos siempre son candidatos a ser máximos o mínimos absolutos. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Producción para coste máximo: } 0 \text{ toneladas}} $$