Probabilidad total y Teorema de Bayes en polideportivo

**a) (1 punto) Calcule la probabilidad de que se duche en las instalaciones del polideportivo.** Primero, definimos los sucesos principales basados en el grupo de edad y el uso de las duchas: - $N$: El usuario es un niño. - $A_{<60}$: El usuario es adulto menor de 60 años. - $A_{\ge60}$: El usuario es adulto mayor de 60 años. - $D$: El usuario utiliza las duchas. - $\bar{D}$: El usuario no utiliza las duchas. Calculamos el número de adultos mayores de 60 años: $$520 - (220 + 208) = 520 - 428 = 92 \text{ adultos mayores de 60 años.}$$ Calculamos las probabilidades de pertenecer a cada grupo: - $P(N) = \dfrac{220}{520} = \dfrac{11}{26}$ - $P(A_{<60}) = \dfrac{208}{520} = \dfrac{2}{5} = 0,4$ - $P(A_{\ge60}) = \dfrac{92}{520} = \dfrac{23}{130}$ Ahora, las probabilidades condicionadas de usar la ducha: - $P(D|N) = \dfrac{1}{5} = 0,2$ - $P(D|A_{<60}) = 75\% = 0,75$ - $P(D|A_{\ge60}) = \dfrac{23}{92} = 0,25$ (ya que 23 de los 92 adultos mayores se duchan). Representamos la situación en un árbol de probabilidad:

Para hallar la probabilidad de que un usuario se duche $P(D)$, aplicamos el **Teorema de la Probabilidad Total**: $$P(D) = P(N) \cdot P(D|N) + P(A_{<60}) \cdot P(D|A_{<60}) + P(A_{\ge60}) \cdot P(D|A_{\ge60})$$ Sustituimos los valores calculados: $$P(D) = \left(\frac{220}{520} \cdot \frac{1}{5}\right) + \left(\frac{208}{520} \cdot 0,75\right) + \left(\frac{92}{520} \cdot \frac{23}{92}\right)$$ Calculamos cada término (es más sencillo trabajar con el número total de personas que se duchan): - Niños que se duchan: $220 \cdot \frac{1}{5} = 44$ - Adultos < 60 que se duchan: $208 \cdot 0,75 = 156$ - Adultos $\ge 60$ que se duchan: $23$ Total de personas que se duchan: $44 + 156 + 23 = 223$ $$P(D) = \frac{223}{520} \approx 0,4288$$ 💡 **Tip:** El teorema de la probabilidad total consiste en sumar las probabilidades de todas las ramas que terminan en el suceso deseado ($D$). ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(D) = \frac{223}{520} \approx 0,4288}$$

**b) (0.75 puntos) Calcule la probabilidad de que sea adulto menor de 60 años y utilice las duchas.** Buscamos la probabilidad de la intersección $P(A_{<60} \cap D)$. Esta se calcula multiplicando la probabilidad de ser adulto menor de 60 por la probabilidad de que este grupo use la ducha: $$P(A_{<60} \cap D) = P(A_{<60}) \cdot P(D|A_{<60})$$ Usando los datos del enunciado: $$P(A_{<60} \cap D) = \frac{208}{520} \cdot 0,75$$ $$P(A_{<60} \cap D) = 0,4 \cdot 0,75 = 0,3$$ 💡 **Tip:** En un diagrama de árbol, la probabilidad de la intersección de dos sucesos de ramas consecutivas es simplemente el producto de las probabilidades de dichas ramas. ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(A_{<60} \cap D) = 0,3}$$

**c) (0.75 puntos) Sabiendo que utiliza las duchas, halle la probabilidad de que sea un niño.** Se trata de una probabilidad a posteriori, ya que conocemos el resultado final (se ducha) y queremos saber la probabilidad de una causa (que sea niño). Aplicamos el **Teorema de Bayes**: $$P(N|D) = \frac{P(N \cap D)}{P(D)}$$ Ya conocemos los valores necesarios: - $P(N \cap D) = P(N) \cdot P(D|N) = \frac{220}{520} \cdot \frac{1}{5} = \frac{44}{520}$ - $P(D) = \frac{223}{520}$ (calculado en el apartado a) Sustituimos: $$P(N|D) = \frac{\frac{44}{520}}{\frac{223}{520}} = \frac{44}{223} \approx 0,1973$$ 💡 **Tip:** Recuerda que $P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}$. En los problemas de Bayes, el denominador es siempre la probabilidad total del suceso que ya ha ocurrido. ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(N|D) = \frac{44}{223} \approx 0,1973}$$