Inferencia estadística: Intervalos de confianza y error máximo

**a) (1.5 puntos) Se toma una muestra aleatoria simple y se obtiene que el intervalo de confianza al 95% para la media $\mu$ es $(24.47, 26.43)$. Calcule el valor de la media muestral y el tamaño de la muestra elegida.** Sabemos que el intervalo de confianza para la media poblacional $\mu$ tiene la forma: $$IC = (\bar{x} - E, \bar{x} + E)$$ donde $\bar{x}$ es la media muestral y $E$ es el error máximo admisible. La media muestral $\bar{x}$ es el punto medio del intervalo. Por tanto, podemos calcularla sumando los extremos y dividiendo entre 2: $$\bar{x} = \frac{24.47 + 26.43}{2} = \frac{50.9}{2} = 25.45$$ 💡 **Tip:** En cualquier intervalo de confianza simétrico, la media muestral siempre coincide con el centro del intervalo. ✅ **Resultado (Media muestral):** $$\boxed{\bar{x} = 25.45 \text{ euros}}$$

Para hallar el tamaño de la muestra $n$, primero necesitamos el valor crítico $z_{\alpha/2}$ correspondiente al nivel de confianza del 95%. Si el nivel de confianza es $1 - \alpha = 0.95$: 1. Calculamos $\alpha = 1 - 0.95 = 0.05$. 2. Dividimos entre dos: $\alpha/2 = 0.025$. 3. Buscamos el valor $z_{\alpha/2}$ tal que $P(Z \le z_{\alpha/2}) = 1 - 0.025 = 0.975$. Consultando la tabla de la distribución Normal $N(0, 1)$, observamos que para una probabilidad de $0.9750$, el valor es: $$z_{\alpha/2} = 1.96$$

El error $E$ es la mitad de la amplitud del intervalo: $$E = \frac{26.43 - 24.47}{2} = \frac{1.96}{2} = 0.98$$ La fórmula del error máximo es $E = z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$. Sustituimos los valores conocidos ($\sigma = 6$, $z_{\alpha/2} = 1.96$, $E = 0.98$): $$0.98 = 1.96 \cdot \frac{6}{\sqrt{n}}$$ Despejamos $\sqrt{n}$: $$\sqrt{n} = \frac{1.96 \cdot 6}{0.98}$$ Como $1.96 / 0.98 = 2$, tenemos: $$\sqrt{n} = 2 \cdot 6 = 12$$ $$n = 12^2 = 144$$ 💡 **Tip:** Si el resultado de $n$ no fuera exacto, siempre debemos redondear al entero superior para garantizar que el error no supere el límite. ✅ **Resultado (Tamaño de la muestra):** $$\boxed{n = 144}$$

**b) (1 punto) Escogida otra muestra de tamaño 49 para estimar $\mu$, calcule el error máximo cometido para esa estimación con un nivel de confianza del 97%.** En este nuevo escenario tenemos $n = 49$ y $\sigma = 6$. El nivel de confianza es $1 - \alpha = 0.97$. Repetimos el proceso para hallar $z_{\alpha/2}$: 1. $\alpha = 1 - 0.97 = 0.03$. 2. $\alpha/2 = 0.015$. 3. Buscamos $z_{\alpha/2}$ tal que $P(Z \le z_{\alpha/2}) = 1 - 0.015 = 0.985$. Buscando en la tabla de la Normal $N(0, 1)$ el valor de probabilidad $0.9850$, encontramos: $$z_{\alpha/2} = 2.17$$

Utilizamos la fórmula del error máximo con los nuevos datos: $$E = z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$$ $$E = 2.17 \cdot \frac{6}{\sqrt{49}}$$ $$E = 2.17 \cdot \frac{6}{7}$$ $$E = \frac{13.02}{7} = 1.86$$ 💡 **Tip:** El error máximo representa la precisión de nuestra estimación. A mayor nivel de confianza (manteniendo el tamaño de muestra), el error aumenta porque el intervalo debe ser más ancho para asegurar que contiene a la media. ✅ **Resultado (Error máximo):** $$\boxed{E = 1.86 \text{ euros}}$$