Sistemas de ecuaciones matriciales y resolución de ecuaciones

**a) (1.25 puntos) Resuelva el sistema de ecuaciones matriciales: $$2A - 5B = \begin{pmatrix} 7 & 2 \\ 7 & 8 \end{pmatrix}; \quad 3A - B = \begin{pmatrix} 4 & 3 \\ 4 & -1 \end{pmatrix}$$** Para resolver este sistema, utilizaremos el método de reducción, similar a como lo hacemos con ecuaciones lineales. Llamaremos a las matrices de los resultados $M_1$ y $M_2$: (1) $2A - 5B = \begin{pmatrix} 7 & 2 \\ 7 & 8 \end{pmatrix}$ (2) $3A - B = \begin{pmatrix} 4 & 3 \\ 4 & -1 \end{pmatrix}$ Nuestro objetivo es eliminar una de las incógnitas ($A$ o $B$). Es más sencillo eliminar la $B$ multiplicando la segunda ecuación por $5$. 💡 **Tip:** Elige siempre la incógnita que tenga el coeficiente más sencillo (en este caso $B$ en la segunda ecuación) para facilitar los cálculos.

Multiplicamos la ecuación (2) por $5$: $$5 \cdot (3A - B) = 5 \cdot \begin{pmatrix} 4 & 3 \\ 4 & -1 \end{pmatrix} \implies 15A - 5B = \begin{pmatrix} 20 & 15 \\ 20 & -5 \end{pmatrix}$$ Ahora restamos la ecuación (1) a esta nueva ecuación: $$(15A - 5B) - (2A - 5B) = \begin{pmatrix} 20 & 15 \\ 20 & -5 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 7 & 2 \\ 7 & 8 \end{pmatrix}$$ $$13A = \begin{pmatrix} 20-7 & 15-2 \\ 20-7 & -5-8 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 13 & 13 \\ 13 & -13 \end{pmatrix}$$ Finalmente, despejamos $A$ dividiendo por $13$: $$A = \frac{1}{13} \begin{pmatrix} 13 & 13 \\ 13 & -13 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}$$ ✅ **Resultado Matriz A:** $$\boxed{A = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}}$$

Para hallar $B$, sustituimos el valor de $A$ en la ecuación (2), que es la más sencilla: $$3A - B = \begin{pmatrix} 4 & 3 \\ 4 & -1 \end{pmatrix} \implies B = 3A - \begin{pmatrix} 4 & 3 \\ 4 & -1 \end{pmatrix}$$ Sustituimos $A$: $$B = 3 \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 4 & 3 \\ 4 & -1 \end{pmatrix}$$ $$B = \begin{pmatrix} 3 & 3 \\ 3 & -3 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 4 & 3 \\ 4 & -1 \end{pmatrix}$$ $$B = \begin{pmatrix} 3-4 & 3-3 \\ 3-4 & -3-(-1) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ -1 & -2 \end{pmatrix}$$ ✅ **Resultado Matriz B:** $$\boxed{B = \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ -1 & -2 \end{pmatrix}}$$

**b) (1.25 puntos) Dadas las matrices $C = \begin{pmatrix} 3 & -2 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$ y $D = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 2 \end{pmatrix}$, resuelva la ecuación matricial $X \cdot C - D^2 = I_2$** Primero, despejamos la matriz $X$ de la ecuación: $$X \cdot C - D^2 = I_2$$ $$X \cdot C = I_2 + D^2$$ Para dejar sola la $X$, debemos multiplicar por la inversa de $C$ ($C^{-1}$). Como la $C$ está a la **derecha** de $X$, multiplicamos por $C^{-1}$ por la **derecha** en ambos miembros: $$(X \cdot C) \cdot C^{-1} = (I_2 + D^2) \cdot C^{-1}$$ $$X = (I_2 + D^2) \cdot C^{-1}$$ 💡 **Tip:** En álgebra matricial, el orden de los factores importa. Si la matriz está a la derecha, su inversa debe aplicarse por la derecha.

Calculamos primero $D^2$: $$D^2 = D \cdot D = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} (0-1) & (0+2) \\ (0-2) & (-1+4) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 & 2 \\ -2 & 3 \end{pmatrix}$$ Ahora calculamos $I_2 + D^2$: $$I_2 + D^2 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} -1 & 2 \\ -2 & 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 2 \\ -2 & 4 \end{pmatrix}$$ Llamaremos a esta matriz resultante $M = \begin{pmatrix} 0 & 2 \\ -2 & 4 \end{pmatrix}$.

Para calcular $C^{-1} = \frac{1}{|C|} \text{Adj}(C)^t$, seguimos estos pasos: 1. Determinante de $C$: $$|C| = \begin{vmatrix} 3 & -2 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} = (3 \cdot 1) - (-2 \cdot 1) = 3 + 2 = 5$$ Como $|C| \neq 0$, la matriz es invertible. 2. Matriz de adjuntos (cofactores): $$C_{11} = 1; \quad C_{12} = -1; \quad C_{21} = -(-2) = 2; \quad C_{22} = 3$$ $$\text{Adj}(C) = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 2 & 3 \end{pmatrix}$$ 3. Matriz inversa: $$C^{-1} = \frac{1}{5} \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ -1 & 3 \end{pmatrix}$$ 💡 **Tip:** No es necesario dividir cada término por 5 todavía; es mejor dejar la fracción fuera hasta el final para evitar trabajar con decimales o fracciones complicadas.

Calculamos $X = M \cdot C^{-1}$: $$X = \begin{pmatrix} 0 & 2 \\ -2 & 4 \end{pmatrix} \cdot \frac{1}{5} \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ -1 & 3 \end{pmatrix}$$ $$X = \frac{1}{5} \left[ \begin{pmatrix} 0 & 2 \\ -2 & 4 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ -1 & 3 \end{pmatrix} \right]$$ $$X = \frac{1}{5} \begin{pmatrix} (0 - 2) & (0 + 6) \\ (-2 - 4) & (-4 + 12) \end{pmatrix} = \frac{1}{5} \begin{pmatrix} -2 & 6 \\ -6 & 8 \end{pmatrix}$$ Si queremos expresarla término a término: $$X = \begin{pmatrix} -2/5 & 6/5 \\ -6/5 & 8/5 \end{pmatrix}$$ ✅ **Resultado Final:** $$\boxed{X = \begin{pmatrix} -0.4 & 1.2 \\ -1.2 & 1.6 \end{pmatrix}}$$