Continuidad, derivabilidad y estudio de la monotonía

**a) (1.6 puntos) Calcule $a$ y $b$ para que la función sea continua y derivable en $x = -1$ y $x = 0$.** Para que la función sea derivable, primero debe ser continua. Empezamos estudiando el salto entre ramas en $x = -1$. **Continuidad en $x = -1$:** Deben coincidir los límites laterales y el valor de la función: 1. $\lim_{x \to -1^-} f(x) = \lim_{x \to -1} (ax + 1) = a(-1) + 1 = 1 - a$ 2. $\lim_{x \to -1^+} f(x) = \lim_{x \to -1} \frac{x}{x+2} = \frac{-1}{-1+2} = -1$ 3. $f(-1) = 1 - a$ Igualamos: $1 - a = -1 \implies a = 2$. **Derivabilidad en $x = -1$:** Calculamos la derivada de las ramas cercanas a $x = -1$: - Si $x \lt -1$, $f'(x) = a$ - Si $-1 \lt x \lt 0$, $f'(x) = \frac{1(x+2) - x(1)}{(x+2)^2} = \frac{2}{(x+2)^2}$ Comprobamos las derivadas laterales en $x = -1$: - $f'(-1^-) = a = 2$ - $f'(-1^+) = \frac{2}{(-1+2)^2} = \frac{2}{1} = 2$ Como $2 = 2$, la función es derivable en $x = -1$ si $a = 2$. 💡 **Tip:** Recuerda que para que una función sea derivable en un punto, es condición necesaria que sea continua en dicho punto. $$\boxed{a = 2}$$

Ahora estudiamos el salto entre ramas en $x = 0$. **Continuidad en $x = 0$:** 1. $\lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0} \frac{x}{x+2} = \frac{0}{2} = 0$ 2. $\lim_{x \to 0^+} f(x) = \lim_{x \to 0} (x^2 - bx) = 0 - 0 = 0$ 3. $f(0) = 0$ La función es continua en $x = 0$ para cualquier valor de $b$. **Derivabilidad en $x = 0$:** Calculamos la derivada de las ramas cercanas a $x = 0$: - Si $-1 \lt x \lt 0$, $f'(x) = \frac{2}{(x+2)^2}$ - Si $x \gt 0$, $f'(x) = 2x - b$ Comprobamos las derivadas laterales en $x = 0$: - $f'(0^-) = \frac{2}{(0+2)^2} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$ - $f'(0^+) = 2(0) - b = -b$ Para que sea derivable, $f'(0^-) = f'(0^+)$: $$\frac{1}{2} = -b \implies b = -\frac{1}{2}$$ ✅ **Resultado apartado a):** $$\boxed{a = 2, \quad b = -\frac{1}{2}}$$

**b) (0.9 puntos) Para $a = 2$ y $b = -\frac{1}{2}$ estudie su monotonía.** Sustituimos los valores de $a$ y $b$ en la función y su derivada. La derivada por tramos es: $$f'(x) = \begin{cases} 2 & \text{si } x < -1 \\ \frac{2}{(x+2)^2} & \text{si } -1 < x < 0 \\ 2x + \frac{1}{2} & \text{si } x > 0 \end{cases}$$ Analizamos el signo de $f'(x)$ en cada intervalo: - En $(-\infty, -1)$: $f'(x) = 2$, que es siempre positivo ($+$). - En $(-1, 0)$: $f'(x) = \frac{2}{(x+2)^2}$, que es siempre positivo ($+$) ya que el denominador al cuadrado es siempre positivo en este intervalo. - En $(0, +\infty)$: $f'(x) = 2x + \frac{1}{2}$. Como $x \gt 0$, entonces $2x + \frac{1}{2}$ es siempre positivo ($+$). **Tabla de signos de $f'(x)$:** $$\begin{array}{c|ccc} x & (-\infty,-1) & -1 & (-1,0) & 0 & (0,+\infty)\\\hline f'(x) & + & 2 & + & 1/2 & + \end{array}$$ Como la derivada es positiva en todo su dominio (recordando que es derivable y por tanto continua en los puntos de unión), la función es estrictamente creciente. 💡 **Tip:** Para estudiar la monotonía, buscamos los puntos donde $f'(x) = 0$ y los puntos donde la función no existe, y analizamos el signo de la derivada en los intervalos resultantes. ✅ **Resultado (monotonía):** $$\boxed{\text{La función es estrictamente creciente en todo } \mathbb{R}}$$