Probabilidades de producción y variedades de aceituna

Para resolver este problema, primero definimos los sucesos que intervienen basándonos en el enunciado: - $A$: La caja proviene de la productora $A$. - $B$: La caja proviene de la productora $B$. - $Pi$: La variedad de aceituna es picual. - $Ar$: La variedad de aceituna es arbequina (es el suceso contrario a picual, $Pi^c$). Organizamos los datos proporcionados en un diagrama en árbol para visualizar las probabilidades: - $P(A) = 0.40$ (El 40% proviene de A). - $P(B) = 1 - 0.40 = 0.60$ (El resto proviene de B). - $P(Pi|A) = 0.60$ (De A, el 60% es picual). - $P(Ar|A) = 1 - 0.60 = 0.40$ (De A, el resto es arbequina). - $P(Ar|B) = 0.30$ (De B, el 30% es arbequina). - $P(Pi|B) = 1 - 0.30 = 0.70$ (De B, el resto es picual). 💡 **Tip:** En un diagrama en árbol, la suma de las probabilidades que parten de un mismo nodo siempre debe ser $1$.

**a) (1 punto) ¿Cuál es la probabilidad de que sea de la variedad picual?** Para calcular la probabilidad total de que una caja sea de la variedad picual ($Pi$), aplicamos el **Teorema de la Probabilidad Total**. Sumamos las probabilidades de obtener picual a través de la productora A y a través de la productora B: $$P(Pi) = P(A \cap Pi) + P(B \cap Pi)$$ $$P(Pi) = P(A) \cdot P(Pi|A) + P(B) \cdot P(Pi|B)$$ Sustituimos los valores obtenidos del diagrama: $$P(Pi) = (0.4 \cdot 0.6) + (0.6 \cdot 0.7)$$ $$P(Pi) = 0.24 + 0.42$$ $$P(Pi) = 0.66$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(Pi) = 0.66}$$

**b) (1 punto) Si se sabe que es de la variedad picual, ¿cuál es la probabilidad de que provenga de la productora A?** Este apartado nos pide una probabilidad a posteriori: sabemos que ha ocurrido el suceso $Pi$ y queremos saber la probabilidad de que proceda de $A$. Aplicamos el **Teorema de Bayes**: $$P(A|Pi) = \frac{P(A \cap Pi)}{P(Pi)}$$ Ya tenemos los valores calculados en los pasos anteriores: - $P(A \cap Pi) = 0.4 \cdot 0.6 = 0.24$ - $P(Pi) = 0.66$ Sustituimos: $$P(A|Pi) = \frac{0.24}{0.66}$$ Simplificamos la fracción dividiendo entre $0.06$: $$P(A|Pi) = \frac{4}{11} \approx 0.3636$$ 💡 **Tip:** Recuerda que la probabilidad condicionada se define como la probabilidad de la intersección dividida por la probabilidad de la condición (lo que ya sabemos que ha ocurrido). ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(A|Pi) = \frac{4}{11} \approx 0.3636}$$

**c) (0.5 puntos) Calcule la probabilidad de que sea de la productora A o de la variedad picual.** Nos piden la probabilidad de la unión de dos sucesos: $P(A \cup Pi)$. Para ello, utilizamos la fórmula general de la probabilidad de la unión: $$P(A \cup Pi) = P(A) + P(Pi) - P(A \cap Pi)$$ Utilizamos los valores que ya conocemos: - $P(A) = 0.40$ - $P(Pi) = 0.66$ - $P(A \cap Pi) = 0.24$ Calculamos: $$P(A \cup Pi) = 0.40 + 0.66 - 0.24$$ $$P(A \cup Pi) = 1.06 - 0.24$$ $$P(A \cup Pi) = 0.82$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(A \cup Pi) = 0.82}$$