Inferencia estadística: Intervalo de confianza y tamaño muestral para una proporción

**a) (1.5 puntos) Determine un intervalo de confianza al 97% para estimar la proporción de accidentes de tráfico debidos al uso del móvil mientras se conduce.** En primer lugar, extraemos los datos del enunciado: - Tamaño de la muestra: $n = 250$ accidentes. - Número de accidentes por uso de móvil: $x = 90$. Calculamos la proporción muestral ($\hat{p}$) y su complementaria ($\hat{q}$): $$\hat{p} = \frac{x}{n} = \frac{90}{250} = 0.36$$ $$\hat{q} = 1 - \hat{p} = 1 - 0.36 = 0.64$$ 💡 **Tip:** La proporción muestral $\hat{p}$ es el mejor estimador puntual de la proporción poblacional desconocida $p$.

Para un nivel de confianza del $97\%$, tenemos que $1 - \alpha = 0.97$. Calculamos el nivel de significación $\alpha$: $$\alpha = 1 - 0.97 = 0.03 \implies \frac{\alpha}{2} = 0.015$$ Buscamos el valor crítico $z_{\alpha/2}$ tal que la probabilidad acumulada sea: $$p(Z \le z_{\alpha/2}) = 1 - \frac{\alpha}{2} = 1 - 0.015 = 0.985$$ Consultando en la tabla de la distribución Normal $N(0, 1)$, buscamos el valor $0.985$ en el interior de la tabla y observamos que corresponde a: $$\boxed{z_{\alpha/2} = 2.17}$$

La fórmula del intervalo de confianza para la proporción es: $$IC = \left( \hat{p} - z_{\alpha/2} \cdot \sqrt{\frac{\hat{p}\hat{q}}{n}}, \quad \hat{p} + z_{\alpha/2} \cdot \sqrt{\frac{\hat{p}\hat{q}}{n}} \right)$$ Calculamos primero el error máximo admisible ($E$): $$E = z_{\alpha/2} \cdot \sqrt{\frac{\hat{p}\hat{q}}{n}} = 2.17 \cdot \sqrt{\frac{0.36 \cdot 0.64}{250}}$$ $$E = 2.17 \cdot \sqrt{\frac{0.2304}{250}} = 2.17 \cdot \sqrt{0.0009216} \approx 2.17 \cdot 0.030358 \approx 0.0659$$ Ahora calculamos los extremos del intervalo: - Límite inferior: $0.36 - 0.0659 = 0.2941$ - Límite superior: $0.36 + 0.0659 = 0.4259$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{IC = (0.2941, \, 0.4259)}$$

**b) (1 punto) Usando la estimación anterior, calcule el tamaño mínimo que debe tener una muestra para estimar la proporción de accidentes con un error máximo del 5% y un nivel de confianza del 99%.** Datos para este apartado: - Proporción estimada anteriormente: $\hat{p} = 0.36, \hat{q} = 0.64$. - Error máximo: $E = 5\% = 0.05$. - Nivel de confianza: $1 - \alpha = 0.99$. Calculamos el nuevo $z_{\alpha/2}$ para el $99\%$: $$\alpha = 1 - 0.99 = 0.01 \implies \frac{\alpha}{2} = 0.005$$ $$p(Z \le z_{\alpha/2}) = 1 - 0.005 = 0.995$$ Buscando en la tabla Normal, el valor $0.995$ está entre $2.57$ y $2.58$. Tomamos el valor medio: $$\boxed{z_{\alpha/2} = 2.575}$$ 💡 **Tip:** En niveles de confianza muy comunes como el 99%, es habitual usar $2.575$, aunque usar $2.58$ también suele aceptarse en los exámenes.

La fórmula para el tamaño de la muestra ($n$) en la estimación de proporciones es: $$n = \left( \frac{z_{\alpha/2}}{E} \right)^2 \cdot \hat{p} \cdot \hat{q}$$ Sustituimos los valores: $$n = \left( \frac{2.575}{0.05} \right)^2 \cdot 0.36 \cdot 0.64$$ $$n = (51.5)^2 \cdot 0.2304$$ $$n = 2652.25 \cdot 0.2304 = 611.0784$$ Como el tamaño de la muestra debe ser un número entero y el error debe ser **como máximo** del 5%, debemos redondear siempre al entero superior para garantizar que se cumple la restricción. ✅ **Resultado:** $$\boxed{n = 612 \text{ accidentes}}$$