Programación lineal: Región factible y optimización

**a) (1.8 puntos) Represéntela gráficamente y determine sus vértices.** Para representar la región, primero transformamos las inecuaciones en igualdades para obtener las rectas que limitan el recinto: 1. $r_1: 2x - y = -2 \implies y = 2x + 2$ 2. $r_2: -x + y = 2 \implies y = x + 2$ 3. $r_3: 2x + 3y = 15 \implies y = \frac{15 - 2x}{3}$ 4. $r_4: y = 0$ (Eje X) Calculamos un par de puntos para cada recta: - Para $r_1$: Si $x=0, y=2$; Si $x=-1, y=0$. Puntos $(0,2)$ y $(-1,0)$. - Para $r_2$: Si $x=0, y=2$; Si $x=-2, y=0$. Puntos $(0,2)$ y $(-2,0)$. - Para $r_3$: Si $x=0, y=5$; Si $x=7.5, y=0$. Puntos $(0,5)$ y $(7.5,0)$. 💡 **Tip:** Para saber qué lado de la recta elegir para la inecuación, prueba con un punto que no esté en la recta, como el $(0,0)$. Por ejemplo, en $2x-y \ge -2$, probamos $2(0)-0 = 0 \ge -2$, lo cual es cierto, por lo que el semiplano incluye al origen.

Los vértices son los puntos de intersección de las rectas que limitan el recinto factible: - **Vértice A ($r_1 \cap r_2$):** $$\begin{cases} y = 2x + 2 \\ y = x + 2 \end{cases} \implies 2x + 2 = x + 2 \implies x = 0, y = 2 \implies \mathbf{A(0, 2)}$$ - **Vértice B ($r_2 \cap r_3$):** $$\begin{cases} y = x + 2 \\ 2x + 3y = 15 \end{cases} \implies 2x + 3(x + 2) = 15 \implies 5x = 9 \implies x = 1.8, y = 3.8 \implies \mathbf{B(1.8, 3.8)}$$ - **Vértice C ($r_3 \cap r_4$):** $$\begin{cases} 2x + 3y = 15 \\ y = 0 \end{cases} \implies 2x = 15 \implies x = 7.5, y = 0 \implies \mathbf{C(7.5, 0)}$$ - **Vértice D ($r_1 \cap r_4$):** $$\begin{cases} 2x - y = -2 \\ y = 0 \end{cases} \implies 2x = -2 \implies x = -1, y = 0 \implies \mathbf{D(-1, 0)}$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{Vértices: A(0, 2), B(1.8, 3.8), C(7.5, 0), D(-1, 0)}$$

**b) (0.2 puntos) Indique razonadamente si el punto (3,3) pertenece a dicha región.** Para que el punto $(3, 3)$ pertenezca a la región, debe satisfacer todas las inecuaciones dadas: 1. $2(3) - 3 = 6 - 3 = 3 \ge -2$ (Cumple) 2. $-(3) + 3 = 0 \le 2$ (Cumple) 3. $2(3) + 3(3) = 6 + 9 = 15 \le 15$ (Cumple) 4. $3 \ge 0$ (Cumple) Como el punto satisface todas las restricciones del sistema, podemos afirmar que pertenece a la región factible. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{El punto (3,3) pertenece a la región}}$$

**c) (0.5 puntos) ¿En qué puntos de la región anterior la función $F(x, y) = 3x - 2y$ alcanza los valores máximo y mínimo y cuáles son éstos?** Evaluamos la función objetivo $F(x, y) = 3x - 2y$ en cada uno de los vértices hallados en el apartado a): - $F(A) = F(0, 2) = 3(0) - 2(2) = -4$ - $F(B) = F(1.8, 3.8) = 3(1.8) - 2(3.8) = 5.4 - 7.6 = -2.2$ - $F(C) = F(7.5, 0) = 3(7.5) - 2(0) = 22.5$ - $F(D) = F(-1, 0) = 3(-1) - 2(0) = -3$ Comparando los valores obtenidos: - El valor máximo es **22.5** y se alcanza en el punto **C(7.5, 0)**. - El valor mínimo es **-4** y se alcanza en el punto **A(0, 2)**. 💡 **Tip:** En programación lineal sobre un recinto cerrado y acotado, los valores óptimos siempre se encuentran en los vértices del polígono (o en los segmentos que los unen si hay infinitas soluciones). ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Máximo: 22.5 en (7.5, 0) ; Mínimo: -4 en (0, 2)}}$$