Continuidad, derivabilidad y optimización de una función de velocidad

**a) (1 punto) Determine $a$ y $b$ para que la función sea continua en los instantes $t = 1$ y $t = 5$.** Para que la función sea continua en $t = 1$, deben coincidir los límites laterales y el valor de la función en ese punto: 1. $\lim_{t \to 1^-} v(t) = \lim_{t \to 1^-} 7 = 7$ 2. $\lim_{t \to 1^+} v(t) = \lim_{t \to 1^+} (t^2 + at) = 1^2 + a(1) = 1 + a$ 3. $v(1) = 1^2 + a(1) = 1 + a$ Igualamos los límites para evitar un salto entre ramas: $$7 = 1 + a \implies a = 7 - 1 \implies a = 6$$ 💡 **Tip:** Recuerda que para que una función sea continua en un punto $x=c$, se debe cumplir que $\lim_{x \to c^-} f(x) = \lim_{x \to c^+} f(x) = f(c)$.

Para que la función sea continua en $t = 5$, planteamos la igualdad de límites laterales usando el valor de $a=6$ obtenido anteriormente: 1. $\lim_{t \to 5^-} v(t) = \lim_{t \to 5^-} (t^2 + 6t) = 5^2 + 6(5) = 25 + 30 = 55$ 2. $\lim_{t \to 5^+} v(t) = \lim_{t \to 5^+} (-t^2 + bt + 12) = -5^2 + b(5) + 12 = -25 + 5b + 12 = 5b - 13$ Igualamos ambos límites: $$55 = 5b - 13$$ $$55 + 13 = 5b \implies 68 = 5b \implies b = \frac{68}{5} = 13,6$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{a = 6, \quad b = 13,6}$$

**b) (1.5 puntos) Para $a = -5$ y $b = 20$, estudie la derivabilidad en los instantes $t = 1$ y $t = 5$. ¿En qué momento el móvil alcanza la velocidad máxima?** Primero redefinimos la función con los nuevos parámetros: $$v(t) = \begin{cases} 7 & \text{si } 0 \le t < 1 \\ t^2 - 5t & \text{si } 1 \le t \le 5 \\ -t^2 + 20t + 12 & \text{si } 5 < t \le 10 \end{cases}$$ **Continuidad en $t=1$:** $\lim_{t \to 1^-} v(t) = 7$ $\lim_{t \to 1^+} v(t) = 1^2 - 5(1) = -4$ Como los límites laterales son distintos ($7 \neq -4$), existe un **salto finito**. La función no es continua en $t=1$. 💡 **Tip:** Si una función no es continua en un punto, automáticamente **no es derivable** en dicho punto. $$\boxed{\text{En } t=1 \text{ no es derivable porque no es continua.}}$$

**Continuidad en $t=5$:** $\lim_{t \to 5^-} v(t) = 5^2 - 5(5) = 0$ $\lim_{t \to 5^+} v(t) = -5^2 + 20(5) + 12 = -25 + 100 + 12 = 87$ Como $0 \neq 87$, hay un salto finito en $t=5$. La función no es continua. $$\boxed{\text{En } t=5 \text{ no es derivable porque no es continua.}}$$

Para hallar el máximo absoluto de $v(t)$, analizamos el comportamiento en cada intervalo: 1. **Intervalo $[0, 1)$:** $v(t) = 7$ (Constante). 2. **Intervalo $[1, 5]$:** $v(t) = t^2 - 5t$. Calculamos su derivada: $v'(t) = 2t - 5$. $2t - 5 = 0 \implies t = 2,5$. Evaluamos puntos críticos y extremos: - $v(1) = -4$ - $v(2,5) = (2,5)^2 - 5(2,5) = 6,25 - 12,5 = -6,25$ - $v(5) = 0$ 3. **Intervalo $(5, 10]$:** $v(t) = -t^2 + 20t + 12$. Calculamos su derivada: $v'(t) = -2t + 20$. $-2t + 20 = 0 \implies t = 10$. Evaluamos en el extremo del intervalo: - $v(10) = -10^2 + 20(10) + 12 = -100 + 200 + 12 = 112$. Comparando los valores máximos de cada tramo ($7$, $0$ y $112$): El valor más alto es $112$, que ocurre en $t = 10$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{La velocidad máxima es 112 y se alcanza en } t = 10}$$