Probabilidad de acceso a la universidad y finalización de grado

**a) (1.5 puntos) Calcule la probabilidad de que no haya terminado el Grado.** Primero, definimos los sucesos que intervienen en el problema para organizar la información: - $A$: El alumno accede a los estudios de su primera opción. - $\bar{A}$: El alumno no accede a los estudios de su primera opción. - $T$: El alumno termina el Grado. - $\bar{T}$: El alumno no termina el Grado. Extraemos los datos del enunciado: - $P(A) = 0.80 \implies P(\bar{A}) = 1 - 0.80 = 0.20$ - $P(T|A) = 0.75 \implies P(\bar{T}|A) = 1 - 0.75 = 0.25$ - $P(T|\bar{A}) = 0.40 \implies P(\bar{T}|\bar{A}) = 1 - 0.40 = 0.60$ 💡 **Tip:** Un diagrama de árbol es la mejor herramienta para visualizar problemas de probabilidad compuesta y condicionada.

Para calcular la probabilidad de que un alumno no termine el grado ($P(\bar{T})$), aplicamos el **Teorema de la Probabilidad Total**. Este suceso puede ocurrir por dos vías distintas: que el alumno acceda por su primera opción y no termine, o que no acceda por su primera opción y no termine. $$P(\bar{T}) = P(A) \cdot P(\bar{T}|A) + P(\bar{A}) \cdot P(\bar{T}|\bar{A})$$ Sustituimos los valores obtenidos del árbol: $$P(\bar{T}) = 0.80 \cdot 0.25 + 0.20 \cdot 0.60$$ $$P(\bar{T}) = 0.20 + 0.12 = 0.32$$ 💡 **Tip:** Recuerda que la suma de las probabilidades de todas las ramas que llegan a un mismo desenlace nos da la probabilidad total de ese suceso. ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(\bar{T}) = 0.32}$$ La probabilidad de que un alumno elegido al azar no haya terminado el Grado es del **32%**.

**b) (1 punto) Calcule la probabilidad de que no accediera a los estudios marcados como primera opción, sabiendo que no ha terminado el Grado.** En este apartado se nos pide una probabilidad condicionada: la probabilidad de $\bar{A}$ dado que ha ocurrido $\bar{T}$. Utilizaremos el **Teorema de Bayes**. La fórmula es: $$P(\bar{A}|\bar{T}) = \frac{P(\bar{A} \cap \bar{T})}{P(\bar{T})}$$ Ya conocemos el denominador del apartado anterior ($P(\bar{T}) = 0.32$). El numerador es la probabilidad de la intersección (la rama inferior del árbol): $$P(\bar{A} \cap \bar{T}) = P(\bar{A}) \cdot P(\bar{T}|\bar{A}) = 0.20 \cdot 0.60 = 0.12$$ Ahora calculamos el cociente: $$P(\bar{A}|\bar{T}) = \frac{0.12}{0.32}$$ Simplificamos la fracción: $$P(\bar{A}|\bar{T}) = \frac{12}{32} = \frac{3}{8} = 0.375$$ 💡 **Tip:** El Teorema de Bayes nos permite "invertir" la condicionalidad. Es fundamental identificar qué es lo que ya sabemos (la condición) para colocarlo en el denominador. ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(\bar{A}|\bar{T}) = 0.375}$$ La probabilidad de que no accediera por primera opción sabiendo que no terminó es de **0.375** (o un 37.5%).