Distribución de la media muestral e inferencia estadística

**a) (0.5 puntos) ¿Qué distribución de probabilidad sigue la media muestral?** Primero, identificamos los datos del enunciado para la variable aleatoria $X$, que representa el gasto de un cliente: - La población sigue una distribución normal: $X \sim N(\mu, \sigma)$. - Desviación típica poblacional: $\sigma = 20$. - Tamaño de la muestra: $n = 100$. - Media muestral observada: $\bar{x} = 110$. Según la teoría del muestreo, si la población es normal $N(\mu, \sigma)$, la distribución de las medias muestrales $\bar{X}$ de tamaño $n$ también es normal, con la misma media $\mu$ y una desviación típica (llamada error típico) igual a $\frac{\sigma}{\sqrt{n}}$. Calculamos la desviación típica de la media muestral: $$\sigma_{\bar{x}} = \frac{\sigma}{\sqrt{n}} = \frac{20}{\sqrt{100}} = \frac{20}{10} = 2.$$ 💡 **Tip:** Recuerda que la media muestral siempre es un estimador centrado de la media poblacional, y su dispersión disminuye conforme aumenta el tamaño de la muestra. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\bar{X} \sim N(\mu, 2)}$$

**b) (1 punto) Obtenga un intervalo de confianza al 90%, para el gasto medio de todos los clientes que han comprado ese día.** Para construir el intervalo de confianza, necesitamos el valor crítico $z_{\alpha/2}$ correspondiente al 90%. Datos: - Nivel de confianza: $1 - \alpha = 0.90 \implies \alpha = 0.10$. - Repartimos el error en las dos colas: $\alpha/2 = 0.05$. - Buscamos el valor $z_{\alpha/2}$ tal que la probabilidad acumulada sea: $$P(Z \le z_{\alpha/2}) = 1 - 0.05 = 0.95.$$ Buscando en la tabla de la distribución Normal $N(0, 1)$, el valor que deja un área de $0.95$ a su izquierda está entre $1.64$ y $1.65$. Tomamos el valor medio: $$z_{\alpha/2} = 1.645.$$ 💡 **Tip:** El valor crítico $z_{\alpha/2}$ es aquel que deja un área de $\frac{1+NC}{2}$ a su izquierda en la normal estándar.

La fórmula del intervalo de confianza para la media poblacional $\mu$ es: $$IC = \left( \bar{x} - z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}}, \bar{x} + z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \right)$$ Calculamos primero el error máximo admisible $E$: $$E = z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}} = 1.645 \cdot 2 = 3.29.$$ Ahora aplicamos este error a la media muestral $\bar{x} = 110$: $$IC = (110 - 3.29, 110 + 3.29) = (106.71, 113.29).$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{IC = (106.71, 113.29)}$$

**c) (1 punto) Si deseamos que el error máximo cometido, con el mismo nivel de confianza, sea 2 euros, ¿cuál ha de ser el tamaño mínimo de la muestra?** Queremos que el error $E \le 2$. La fórmula del error es: $$E = z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$$ Datos: - $E = 2$ - $z_{\alpha/2} = 1.645$ (mismo nivel de confianza del 90%) - $\sigma = 20$ - $n$ es la incógnita. Sustituimos y despejamos $\sqrt{n}$: $$2 = 1.645 \cdot \frac{20}{\sqrt{n}}$$ $$2\sqrt{n} = 1.645 \cdot 20$$ $$2\sqrt{n} = 32.9$$ $$\sqrt{n} = \frac{32.9}{2} = 16.45$$ Elevamos al cuadrado para hallar $n$: $$n = (16.45)^2 = 270.6025.$$ Como el tamaño de la muestra debe ser un número entero y el error debe ser **como máximo** 2, debemos redondear siempre al entero superior para asegurar que el error sea menor o igual al pedido. 💡 **Tip:** Aunque el decimal sea bajo (como .1), en problemas de tamaño muestral siempre se redondea hacia arriba para garantizar la precisión solicitada. ✅ **Resultado:** $$\boxed{n = 271 \text{ clientes}}$$