Operaciones con matrices y ecuaciones matriciales

**a) (1 punto) Justifique cuáles de las siguientes operaciones se pueden realizar y efectúelas cuando sea posible: $B \cdot C + A$; $A \cdot B$; $C \cdot A \cdot B$** Primero, identificamos las dimensiones de cada matriz: - $A$ es una matriz de dimensión $2 \times 2$. - $B$ es una matriz de dimensión $2 \times 1$ (vector columna). - $C$ es una matriz de dimensión $1 \times 2$ (vector fila). Analizamos la viabilidad de cada operación: 1. **$B \cdot C + A$**: El producto $B_{2 \times 1} \cdot C_{1 \times 2}$ es posible (columnas de $B$ coinciden con filas de $C$) y resulta en una matriz $2 \times 2$. Como $A$ también es $2 \times 2$, se pueden sumar. **Es posible**. 2. **$A \cdot B$**: El producto $A_{2 \times 2} \cdot B_{2 \times 1}$ es posible y resulta en una matriz $2 \times 1$. **Es posible**. 3. **$C \cdot A \cdot B$**: El producto $C_{1 \times 2} \cdot A_{2 \times 2}$ resulta en una $1 \times 2$. Al multiplicarlo por $B_{2 \times 1}$, resulta en una matriz $1 \times 1$ (un número). **Es posible**. 💡 **Tip:** Para multiplicar matrices $M_{m \times n} \cdot N_{n \times p}$, el número de columnas de la primera debe ser igual al de filas de la segunda.

Calculamos primero el producto $B \cdot C$: $$B \cdot C = \begin{pmatrix} -4 \\ 6 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 2 & -2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} (-4) \cdot 2 & (-4) \cdot (-2) \\ 6 \cdot 2 & 6 \cdot (-2) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -8 & 8 \\ 12 & -12 \end{pmatrix}$$ Ahora sumamos la matriz $A$: $$B \cdot C + A = \begin{pmatrix} -8 & 8 \\ 12 & -12 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 6 & 0 \\ 2 & 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -8+6 & 8+0 \\ 12+2 & -12+4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2 & 8 \\ 14 & -8 \end{pmatrix}$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{B \cdot C + A = \begin{pmatrix} -2 & 8 \\ 14 & -8 \end{pmatrix}}$$

Calculamos el producto $A \cdot B$: $$A \cdot B = \begin{pmatrix} 6 & 0 \\ 2 & 4 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} -4 \\ 6 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6 \cdot (-4) + 0 \cdot 6 \\ 2 \cdot (-4) + 4 \cdot 6 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -24 \\ -8 + 24 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -24 \\ 16 \end{pmatrix}$$ ✅ **Resultado (A·B):** $$\boxed{A \cdot B = \begin{pmatrix} -24 \\ 16 \end{pmatrix}}$$ Finalmente, calculamos $C \cdot (A \cdot B)$ aprovechando el resultado anterior: $$C \cdot (A \cdot B) = \begin{pmatrix} 2 & -2 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} -24 \\ 16 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \cdot (-24) + (-2) \cdot 16 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -48 - 32 \end{pmatrix} = (-80)$$ ✅ **Resultado (C·A·B):** $$\boxed{C \cdot A \cdot B = (-80)}$$

**b) (1.5 puntos) Resuelva la siguiente ecuación matricial: $(A - 3I) \cdot X = B$** Sea $M = (A - 3I)$. La ecuación es $M \cdot X = B$. Si $M$ tiene inversa, entonces $X = M^{-1} \cdot B$. Calculamos primero la matriz $M$: $$M = A - 3I = \begin{pmatrix} 6 & 0 \\ 2 & 4 \end{pmatrix} - 3\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6 & 0 \\ 2 & 4 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 3 & 0 \\ 0 & 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 & 0 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}$$ 💡 **Tip:** Recuerda que $I$ es la matriz identidad, que tiene 1s en la diagonal principal y 0s en el resto.

Para que exista $M^{-1}$, el determinante $|M|$ debe ser distinto de cero. $$|M| = \begin{vmatrix} 3 & 0 \\ 2 & 1 \end{vmatrix} = (3 \cdot 1) - (0 \cdot 2) = 3 \neq 0$$ Calculamos la matriz de adjuntos $\text{Adj}(M)$: - $adj(m_{11}) = (-1)^{1+1} \cdot 1 = 1$ - $adj(m_{12}) = (-1)^{1+2} \cdot 2 = -2$ - $adj(m_{21}) = (-1)^{2+1} \cdot 0 = 0$ - $adj(m_{22}) = (-1)^{2+2} \cdot 3 = 3$ $$\text{Adj}(M) = \begin{pmatrix} 1 & -2 \\ 0 & 3 \end{pmatrix}$$ La matriz traspuesta de la adjunta es: $$\text{Adj}(M)^t = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ -2 & 3 \end{pmatrix}$$ Por tanto, la inversa es: $$M^{-1} = \frac{1}{|M|} \cdot \text{Adj}(M)^t = \frac{1}{3} \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ -2 & 3 \end{pmatrix}$$ 💡 **Tip:** La fórmula de la inversa es $M^{-1} = \frac{1}{|M|} \text{Adj}(M)^t$.

Ahora despejamos $X$ realizando el producto $M^{-1} \cdot B$: $$X = \frac{1}{3} \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ -2 & 3 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} -4 \\ 6 \end{pmatrix}$$ Multiplicamos las matrices primero: $$\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ -2 & 3 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} -4 \\ 6 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \cdot (-4) + 0 \cdot 6 \\ (-2) \cdot (-4) + 3 \cdot 6 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -4 \\ 8 + 18 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -4 \\ 26 \end{pmatrix}$$ Finalmente aplicamos el factor $1/3$: $$X = \frac{1}{3} \begin{pmatrix} -4 \\ 26 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -4/3 \\ 26/3 \end{pmatrix}$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{X = \begin{pmatrix} -4/3 \\ 26/3 \end{pmatrix}}$$