Continuidad, derivabilidad y estudio de una función a trozos

**a) (1.3 puntos) Obtenga el valor de $a$ para que la función sea continua en $x = 0$. Para ese valor de $a$, ¿sería derivable en $x = 0$?** Para que una función sea continua en un punto $x=c$, deben coincidir los límites laterales y el valor de la función en dicho punto: $\lim_{x \to c^-} f(x) = \lim_{x \to c^+} f(x) = f(c)$. 1. **Valor de la función:** $f(0) = 0^2 - a(0) - \frac{1}{2} = -\frac{1}{2}$. 2. **Límite por la izquierda ($x \to 0^-$):** $$\lim_{x \to 0^-} \frac{2x+1}{x-2} = \frac{2(0)+1}{0-2} = -\frac{1}{2}.$$ 3. **Límite por la derecha ($x \to 0^+$):** $$\lim_{x \to 0^+} (x^2 - ax - \frac{1}{2}) = 0^2 - a(0) - \frac{1}{2} = -\frac{1}{2}.$$ Observamos que los límites laterales y el valor de la función coinciden ($-\frac{1}{2}$) independientemente del valor del parámetro $a$. 💡 **Tip:** Si el parámetro $a$ acompaña a una $x$ que tiende a $0$, su efecto desaparece en el cálculo del límite en ese punto. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{La función es continua en } x=0 \text{ para cualquier valor de } a \in \mathbb{R}}$$

Para estudiar la derivabilidad, primero calculamos la derivada de la función en las ramas abiertas ($x \neq 0$): - Si $x \lt 0$, usamos la regla del cociente $\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$: $$f'(x) = \frac{2(x-2) - (2x+1)(1)}{(x-2)^2} = \frac{2x-4-2x-1}{(x-2)^2} = \frac{-5}{(x-2)^2}.$$ - Si $x \gt 0$, derivamos el polinomio: $$f'(x) = 2x - a.$$ La función derivada es: $$f'(x) = \begin{cases} \frac{-5}{(x-2)^2} & \text{si } x \lt 0 \\ 2x - a & \text{si } x \gt 0 \end{cases}$$ Calculamos las derivadas laterales en $x=0$: - Derivada por la izquierda: $f'(0^-) = \frac{-5}{(0-2)^2} = -\frac{5}{4} = -1.25$. - Derivada por la derecha: $f'(0^+) = 2(0) - a = -a$. Para que sea derivable, debe cumplirse $f'(0^-) = f'(0^+) \implies -\frac{5}{4} = -a \implies a = \frac{5}{4}$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Solo sería derivable en } x=0 \text{ si } a = \frac{5}{4}. \text{ Para cualquier otro valor de } a, \text{ no es derivable.}}$$

**b) (1.2 puntos) Para $a = 1$, estudie su monotonía y extremos relativos.** Sustituimos $a=1$ en la derivada calculada anteriormente: $$f'(x) = \begin{cases} \frac{-5}{(x-2)^2} & \text{si } x \lt 0 \\ 2x - 1 & \text{si } x \gt 0 \end{cases}$$ Analizamos el signo de la derivada en cada tramo para determinar los intervalos de crecimiento y decrecimiento: 1. **Tramo $x \lt 0$:** $f'(x) = \frac{-5}{(x-2)^2}$. Como el denominador siempre es positivo y el numerador es $-5$, la derivada es siempre negativa ($f'(x) \lt 0$). La función es **estrictamente decreciente**. 2. **Tramo $x \gt 0$:** Buscamos puntos críticos: $2x - 1 = 0 \implies x = 1/2$. - En $(0, 1/2)$, probamos con $x=0.25$: $f'(0.25) = 2(0.25)-1 = -0.5 \lt 0 \implies$ **Decreciente**. - En $(1/2, +\infty)$, probamos con $x=1$: $f'(1) = 2(1)-1 = 1 \gt 0 \implies$ **Creciente**. **Tabla de signos de $f'(x)$:** $$\begin{array}{c|ccccc} x & (-\infty, 0) & 0 & (0, 1/2) & 1/2 & (1/2, +\infty) \\\hline f'(x) & - & \nexists & - & 0 & + \\ \text{Función} & \searrow & \text{cont.} & \searrow & \text{Mín} & \nearrow \end{array}$$ ✅ **Resultado (Monotonía):** $$\boxed{\begin{aligned} \text{Decreciente: } & (-\infty, 1/2) \\ \text{Creciente: } & (1/2, +\infty) \end{aligned}}$$

A partir del estudio de la monotonía, observamos que en $x = 1/2$ la función pasa de decrecer a crecer, por lo que existe un **mínimo relativo**. Calculamos la ordenada del punto sustituyendo en la segunda rama de la función original (ya que $x = 1/2 \ge 0$): $$f(1/2) = (1/2)^2 - 1(1/2) - \frac{1}{2} = \frac{1}{4} - \frac{1}{2} - \frac{1}{2} = \frac{1}{4} - 1 = -\frac{3}{4}.$$ En $x=0$, aunque hay un cambio de rama y la función no es derivable (pues $f'(0^-) = -1.25$ y $f'(0^+) = -1$ para $a=1$), no hay cambio de monotonía (sigue decreciendo), por lo que no es un extremo relativo. ✅ **Resultado (Extremos):** $$\boxed{\text{Mínimo relativo en } \left(\frac{1}{2}, -\frac{3}{4}\right)}$$