Probabilidad en extracciones sucesivas sin reposición

**a) (1 punto) Describa el espacio muestral asociado a ese experimento aleatorio.** En primer lugar, identificamos los posibles colores de las bolas: - $N$: Bola Negra (hay 3). - $B$: Bola Blanca (hay 2). - $R$: Bola Roja (hay 1). El espacio muestral, que representamos por $E$, es el conjunto de todos los resultados posibles del experimento. Como extraemos dos bolas sin reposición, debemos anotar los pares de colores posibles teniendo en cuenta las cantidades iniciales. Los sucesos elementales son: - Extraer dos negras: $(N, N)$ - Extraer negra y luego blanca: $(N, B)$ - Extraer negra y luego roja: $(N, R)$ - Extraer blanca y luego negra: $(B, N)$ - Extraer dos blancas: $(B, B)$ - Extraer blanca y luego roja: $(B, R)$ - Extraer roja y luego negra: $(R, N)$ - Extraer roja y luego blanca: $(R, B)$ *Nota: No es posible el suceso $(R, R)$ porque solo hay una bola roja en la caja.* $$\boxed{E = \{(N, N), (N, B), (N, R), (B, N), (B, B), (B, R), (R, N), (R, B)\}}$$ 💡 **Tip:** El espacio muestral en experimentos de varias etapas se suele representar como un conjunto de pares ordenados o ternas.

**b) (1.5 puntos) Indique la probabilidad de cada uno de los sucesos elementales del espacio muestral.** Para calcular las probabilidades, utilizaremos un diagrama de árbol. Al ser extracciones **sin reposición**, el número total de bolas disminuye en la segunda extracción (de 6 a 5) y la probabilidad de la segunda bola depende de lo que haya salido en la primera. 💡 **Tip:** En un diagrama de árbol, la probabilidad de un camino se halla multiplicando las probabilidades de sus ramas. Recuerda que al no haber reposición, el denominador de la segunda etapa es una unidad menor.

Aplicamos la regla del producto para cada suceso elemental basándonos en los datos anteriores. El número total de bolas es $3+2+1 = 6$. 1. **$P(N, N)$**: Primera negra ($3/6$) y segunda negra ($2/5$). $$P(N, N) = \frac{3}{6} \cdot \frac{2}{5} = \frac{6}{30} = \frac{1}{5} = 0.2$$ 2. **$P(N, B)$**: Primera negra ($3/6$) y segunda blanca ($2/5$). $$P(N, B) = \frac{3}{6} \cdot \frac{2}{5} = \frac{6}{30} = \frac{1}{5} = 0.2$$ 3. **$P(N, R)$**: Primera negra ($3/6$) y segunda roja ($1/5$). $$P(N, R) = \frac{3}{6} \cdot \frac{1}{5} = \frac{3}{30} = \frac{1}{10} = 0.1$$ 4. **$P(B, N)$**: Primera blanca ($2/6$) y segunda negra ($3/5$). $$P(B, N) = \frac{2}{6} \cdot \frac{3}{5} = \frac{6}{30} = \frac{1}{5} = 0.2$$ 5. **$P(B, B)$**: Primera blanca ($2/6$) y segunda blanca ($1/5$). $$P(B, B) = \frac{2}{6} \cdot \frac{1}{5} = \frac{2}{30} = \frac{1}{15} \approx 0.0667$$ 6. **$P(B, R)$**: Primera blanca ($2/6$) y segunda roja ($1/5$). $$P(B, R) = \frac{2}{6} \cdot \frac{1}{5} = \frac{2}{30} = \frac{1}{15} \approx 0.0667$$ 7. **$P(R, N)$**: Primera roja ($1/6$) y segunda negra ($3/5$). $$P(R, N) = \frac{1}{6} \cdot \frac{3}{5} = \frac{3}{30} = \frac{1}{10} = 0.1$$ 8. **$P(R, B)$**: Primera roja ($1/6$) y segunda blanca ($2/5$). $$P(R, B) = \frac{1}{6} \cdot \frac{2}{5} = \frac{2}{30} = \frac{1}{15} \approx 0.0667$$ ✅ **Resultado final:** $$\boxed{\begin{array}{l} P(N,N)=0.2; \quad P(N,B)=0.2; \quad P(N,R)=0.1 \\ P(B,N)=0.2; \quad P(B,B)=1/15; \quad P(B,R)=1/15 \\ P(R,N)=0.1; \quad P(R,B)=1/15 \end{array}}$$