Inferencia estadística: Intervalo de confianza y tamaño muestral para una proporción

**a) (1.75 puntos) Calcule un intervalo de confianza al 92% para estimar la proporción de estudiantes que va al cine regularmente. ¿Qué error máximo se cometería si se diera como estimación de dicha proporción 0.7?** Primero, extraemos la información del enunciado para definir nuestra muestra: - Tamaño de la muestra: $n = 300$ - Número de estudiantes que asisten al cine: $x = 210$ Calculamos la proporción muestral ($\hat{p}$) y su complementaria ($\hat{q}$): $$\hat{p} = \frac{x}{n} = \frac{210}{300} = 0.7$$ $$\hat{q} = 1 - \hat{p} = 1 - 0.7 = 0.3$$ 💡 **Tip:** La proporción muestral $\hat{p}$ es nuestro mejor estimador puntual de la proporción poblacional desconocida $p$.

Para un nivel de confianza del $92\%$, tenemos que $1 - \alpha = 0.92$. Calculamos el valor crítico $z_{\alpha/2}$ que deja una probabilidad de $\alpha/2$ en cada cola de la distribución normal estándar: 1. Calculamos $\alpha$: $\alpha = 1 - 0.92 = 0.08$. 2. Dividimos entre dos: $\alpha/2 = 0.04$. 3. Buscamos el valor de $z$ tal que $P(Z \le z_{\alpha/2}) = 1 - 0.04 = 0.96$. Consultando la tabla de la distribución Normal $N(0, 1)$, buscamos el valor más próximo a $0.96$: - Para $z = 1.75$, la probabilidad es $0.9599$. - Para $z = 1.76$, la probabilidad es $0.9608$. El valor más cercano es **$z_{\alpha/2} = 1.75$**. 💡 **Tip:** Si el valor exacto no está en la tabla, tomamos el más cercano o realizamos una interpolación. En este nivel, $1.75$ es el estándar aceptado.

El error máximo permitido ($E$) se calcula con la fórmula: $$E = z_{\alpha/2} \cdot \sqrt{\frac{\hat{p} \cdot \hat{q}}{n}}$$ Sustituimos los valores obtenidos: $$E = 1.75 \cdot \sqrt{\frac{0.7 \cdot 0.3}{300}} = 1.75 \cdot \sqrt{\frac{0.21}{300}} = 1.75 \cdot \sqrt{0.0007} \approx 1.75 \cdot 0.026457 \approx 0.0463$$ El intervalo de confianza se define como $I.C. = (\hat{p} - E, \hat{p} + E)$: $$I.C. = (0.7 - 0.0463, 0.7 + 0.0463) = (0.6537, 0.7463)$$ Respecto a la segunda pregunta del apartado, si usamos $0.7$ como estimación, el error máximo es precisamente el radio del intervalo calculado. ✅ **Resultado (Intervalo y Error):** $$\boxed{I.C. = (0.6537, 0.7463) \quad \text{y el error máximo es } 0.0463}$$

**b) (0.75 puntos) Con el mismo nivel de confianza, siendo la proporción muestral la misma, si queremos que el error sea menor que 0.02, ¿cuántos alumnos como mínimo hay que elegir en la muestra?** Queremos que $E < 0.02$. Partimos de la fórmula del error y despejamos $n$: $$E = z_{\alpha/2} \cdot \sqrt{\frac{\hat{p} \cdot \hat{q}}{n}} \implies n > \left( \frac{z_{\alpha/2}}{E} \right)^2 \cdot \hat{p} \cdot \hat{q}$$ Sustituimos los datos ($z_{\alpha/2} = 1.75$, $\hat{p} = 0.7$, $\hat{q} = 0.3$, $E = 0.02$): $$n > \left( \frac{1.75}{0.02} \right)^2 \cdot 0.7 \cdot 0.3$$ $$n > (87.5)^2 \cdot 0.21$$ $$n > 7656.25 \cdot 0.21 = 1607.8125$$ Como el número de alumnos debe ser un número entero, redondeamos siempre al siguiente número entero para asegurar que el error sea estrictamente menor que el propuesto. 💡 **Tip:** En problemas de tamaño muestral, siempre redondeamos hacia arriba (el "techo" del número), incluso si el decimal es pequeño. ✅ **Resultado (Tamaño muestral):** $$\boxed{n = 1608 \text{ alumnos}}$$