Ecuación matricial y dimensiones de matrices

**a) (1.5 puntos) Resuelva la ecuación matricial** $$\begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 1 & -5 \end{pmatrix} \cdot X = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}^2 \cdot \begin{pmatrix} 4 \\ 1 \end{pmatrix}$$ En primer lugar, simplificamos el término de la derecha de la igualdad. Calculamos el cuadrado de la matriz central: $$\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}^2 = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1\cdot1 + 1\cdot0 & 1\cdot1 + 1\cdot(-1) \\ 0\cdot1 + (-1)\cdot0 & 0\cdot1 + (-1)\cdot(-1) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$$ Como el resultado es la matriz identidad $I$, al multiplicarla por el vector columna, este no varía: $$I \cdot \begin{pmatrix} 4 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 4 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 \\ 1 \end{pmatrix}$$ La ecuación queda reducida a: $$\begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 1 & -5 \end{pmatrix} \cdot X = \begin{pmatrix} 4 \\ 1 \end{pmatrix}$$ 💡 **Tip:** Recuerda que la matriz identidad $I$ actúa como el número $1$ en la multiplicación de matrices; cualquier matriz multiplicada por ella se queda igual.

Llamamos $A = \begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 1 & -5 \end{pmatrix}$. Para despejar $X$ en $A \cdot X = B$, debemos multiplicar por la izquierda por la inversa de $A$: $$X = A^{-1} \cdot \begin{pmatrix} 4 \\ 1 \end{pmatrix}$$ Calculamos primero el determinante de $A$: $$|A| = \begin{vmatrix} 2 & 3 \\ 1 & -5 \end{vmatrix} = (2 \cdot -5) - (3 \cdot 1) = -10 - 3 = -13$$ Como $|A| \neq 0$, existe la matriz inversa $A^{-1}$. Calculamos la matriz de adjuntos: $A_{11} = -5$ $A_{12} = -1$ $A_{21} = -3$ $A_{22} = 2$ $$Adj(A) = \begin{pmatrix} -5 & -1 \\ -3 & 2 \end{pmatrix} \implies Adj(A)^t = \begin{pmatrix} -5 & -3 \\ -1 & 2 \end{pmatrix}$$ Por tanto: $$A^{-1} = \frac{1}{|A|} \cdot Adj(A)^t = \frac{1}{-13} \begin{pmatrix} -5 & -3 \\ -1 & 2 \end{pmatrix}$$ 💡 **Tip:** En una ecuación matricial del tipo $A \cdot X = B$, el despeje es $X = A^{-1} \cdot B$. ¡Cuidado! El orden importa mucho, no es lo mismo que $B \cdot A^{-1}$.

Sustituimos $A^{-1}$ en la expresión para hallar $X$: $$X = \frac{1}{-13} \begin{pmatrix} -5 & -3 \\ -1 & 2 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 4 \\ 1 \end{pmatrix}$$ Realizamos la multiplicación de la matriz por el vector: $$X = \frac{1}{-13} \begin{pmatrix} (-5 \cdot 4) + (-3 \cdot 1) \\ (-1 \cdot 4) + (2 \cdot 1) \end{pmatrix} = \frac{1}{-13} \begin{pmatrix} -20 - 3 \\ -4 + 2 \end{pmatrix} = \frac{1}{-13} \begin{pmatrix} -23 \\ -2 \end{pmatrix}$$ Dividimos cada elemento entre $-13$: $$X = \begin{pmatrix} \frac{-23}{-13} \\ \frac{-2}{-13} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{23}{13} \\ \frac{2}{13} \end{pmatrix}$$ ✅ **Resultado del apartado a):** $$\boxed{X = \begin{pmatrix} \frac{23}{13} \\ \frac{2}{13} \end{pmatrix}}$$

**b) (1 punto) Si $A$ es una matriz con tres filas y dos columnas, determine razonadamente la dimensión que deben tener las matrices $B, C$ y $D$ para que se puedan efectuar las siguientes operaciones:** $$2A - 3B \qquad A \cdot A^t - C^2 \qquad A \cdot D$$ Sabemos que $A \in \mathcal{M}_{3 \times 2}$. Para la operación **$2A - 3B$**: La suma y resta de matrices solo es posible si ambas matrices tienen exactamente las mismas dimensiones. Como $2A$ conserva la dimensión de $A$ ($3 \times 2$), la matriz $3B$ también debe ser $3 \times 2$. Por tanto, **$B$ debe ser una matriz de dimensión $3 \times 2$**. 💡 **Tip:** Al multiplicar una matriz por un escalar (un número), su dimensión no cambia.

Para la operación **$A \cdot A^t - C^2$**: 1. Primero analizamos la dimensión de $A \cdot A^t$. Si $A$ es $3 \times 2$, su traspuesta $A^t$ es $2 \times 3$. 2. El producto $(3 \times 2) \cdot (2 \times 3)$ da como resultado una matriz de dimensión $3 \times 3$. 3. Para poder restar $C^2$ a esa matriz, $C^2$ debe ser también de dimensión $3 \times 3$. 4. Para que una matriz se pueda elevar al cuadrado ($C \cdot C$), esta debe ser necesariamente cuadrada. Por tanto, **$C$ debe ser una matriz cuadrada de dimensión $3 \times 3$**. ✅ **Resultado (B y C):** $$\boxed{B \in \mathcal{M}_{3 \times 2}, \quad C \in \mathcal{M}_{3 \times 3}}$$

Para la operación **$A \cdot D$**: Para que se pueda realizar el producto de dos matrices, el número de columnas de la primera debe coincidir con el número de filas de la segunda. - La matriz $A$ tiene dimensión $3 \times 2$. - El número de columnas de $A$ es $2$. - Por tanto, la matriz $D$ debe tener obligatoriamente **2 filas**. El número de columnas de $D$ puede ser cualquiera (llamémoslo $n$). ✅ **Resultado final del apartado b):** $$\boxed{B \in \mathcal{M}_{3 \times 2}, \quad C \in \mathcal{M}_{3 \times 3}, \quad D \in \mathcal{M}_{2 \times n}}$$ (Donde $n$ es cualquier número entero positivo).