Estudio de continuidad, derivabilidad, cortes con ejes y asíntotas

**a) (1.25 puntos) Estudie la continuidad y la derivabilidad de la función $f$.** Primero analizamos la continuidad en cada rama por separado: 1. En el intervalo $(-\infty, 3)$, la función es $f(x) = \frac{x-5}{x-4}$. Es una función racional cuyo denominador se anula en $x = 4$. Como $4$ no pertenece a este intervalo, la función es continua en $(-\infty, 3)$. 2. En el intervalo $(3, +\infty)$, la función es $f(x) = -x^2 + 7x - 10$. Al ser una función polinómica, es continua en todo su dominio. Ahora estudiamos el punto de salto entre ramas, $x = 3$: - Valor de la función: $f(3) = -(3)^2 + 7(3) - 10 = -9 + 21 - 10 = 2$ - Límite por la izquierda: $\lim_{x \to 3^-} f(x) = \lim_{x \to 3} \frac{x-5}{x-4} = \frac{3-5}{3-4} = \frac{-2}{-1} = 2$ - Límite por la derecha: $\lim_{x \to 3^+} f(x) = \lim_{x \to 3} (-x^2 + 7x - 10) = 2$ Como $\lim_{x \to 3^-} f(x) = \lim_{x \to 3^+} f(x) = f(3) = 2$, la función es **continua en $x = 3$**. 💡 **Tip:** Una función es continua en un punto si el valor de la función y sus límites laterales coinciden. $$\boxed{\text{f es continua en } \mathbb{R}}$$

Calculamos la derivada de la función en las ramas abiertas: $$f'(x) = \begin{cases} \frac{1 \cdot (x-4) - (x-5) \cdot 1}{(x-4)^2} & \text{si } x \lt 3 \\ -2x + 7 & \text{si } x \gt 3 \end{cases}$$ Simplificando la primera rama: $$f'(x) = \begin{cases} \frac{1}{(x-4)^2} & \text{si } x \lt 3 \\ -2x + 7 & \text{si } x \gt 3 \end{cases}$$ Analizamos la derivabilidad en el punto de unión $x = 3$ comparando las derivadas laterales: - Derivada por la izquierda: $f'(3^-) = \lim_{x \to 3^-} \frac{1}{(x-4)^2} = \frac{1}{(3-4)^2} = 1$ - Derivada por la derecha: $f'(3^+) = \lim_{x \to 3^+} (-2x + 7) = -2(3) + 7 = 1$ Como $f'(3^-) = f'(3^+)$, la función es **derivable en $x = 3$** con $f'(3) = 1$. 💡 **Tip:** Para que una función sea derivable en un punto, primero debe ser continua en él y luego sus derivadas laterales deben ser iguales. $$\boxed{\text{f es derivable en } \mathbb{R}}$$

**b) (0.75 puntos) Calcule los puntos de corte de la gráfica de $f$ con los ejes de coordenadas.** Para hallar el corte con el eje $Y$, hacemos $x = 0$. Como $0 \lt 3$, usamos la primera rama: $$f(0) = \frac{0-5}{0-4} = \frac{-5}{-4} = \frac{5}{4}$$ El punto de corte es $(0, 1.25)$. ✅ **Resultado eje Y:** $$\boxed{(0, 1.25)}$$

Para hallar los cortes con el eje $X$, resolvemos $f(x) = 0$ en cada rama: 1. **Rama 1 ($x \lt 3$):** $$\frac{x-5}{x-4} = 0 \implies x-5 = 0 \implies x = 5$$ Como $5$ no es menor que $3$, este punto **no es válido** para esta rama. 2. **Rama 2 ($x \ge 3$):** $$-x^2 + 7x - 10 = 0$$ Resolvemos la ecuación de segundo grado: $$x = \frac{-7 \pm \sqrt{7^2 - 4(-1)(-10)}}{2(-1)} = \frac{-7 \pm \sqrt{49 - 40}}{-2} = \frac{-7 \pm 3}{-2}$$ - $x_1 = \frac{-4}{-2} = 2$ (No válido, pues $2 \lt 3$) - $x_2 = \frac{-10}{-2} = 5$ (Válido, pues $5 \ge 3$) El único punto de corte con el eje $X$ es $(5, 0)$. ✅ **Resultado eje X:** $$\boxed{(5, 0)}$$

**c) (0.5 puntos) Calcule las asíntotas de $f$, en caso de que existan.** **Asíntotas Verticales (AV):** - Rama 1: El denominador se anula en $x = 4$, pero $4 \notin (-\infty, 3)$. - Rama 2: Es un polinomio, no tiene asíntotas verticales. Por tanto, **no hay asíntotas verticales**. **Asíntotas Horizontales (AH):** - Cuando $x \to -\infty$ (Rama 1): $$\lim_{x \to -\infty} \frac{x-5}{x-4} = 1$$ Hay una AH en **$y = 1$** por la izquierda. - Cuando $x \to +\infty$ (Rama 2): $$\lim_{x \to +\infty} (-x^2 + 7x - 10) = -\infty$$ No hay AH por la derecha. **Asíntotas Oblicuas (AO):** - Por la izquierda no hay (ya hay AH). - Por la derecha ($x \to +\infty$): $$m = \lim_{x \to +\infty} \frac{f(x)}{x} = \lim_{x \to +\infty} \frac{-x^2+7x-10}{x} = -\infty$$ No hay AO. 💡 **Tip:** Si una función tiene asíntota horizontal en un extremo, no puede tener oblicua en ese mismo extremo. ✅ **Resultado final:** $$\boxed{\text{AH: } y=1 \text{ (cuando } x \to -\infty); \text{ No hay AV ni AO}}$$