Probabilidad y Estadística 2018 Andalucia
Probabilidad total y Teorema de Bayes: Referéndum
EJERCICIO 3
Se ha realizado un referéndum en el que se ha convocado a la ciudadanía a expresar con “SÍ” o con “NO” su opinión sobre cierta cuestión. En una determinada mesa electoral hay tres urnas que contienen las siguientes papeletas: la urna A tiene 200 papeletas con “SÍ” y 300 con “NO”, la urna B, 500 “SÍ” y 400 “NO” y la urna C contiene 200 “SÍ” y 100 “NO”.
Se elige una urna al azar y de ella se extrae aleatoriamente una papeleta.
a) (1.5 puntos) Calcule la probabilidad de que sea un “SÍ”.
b) (1 punto) Si la papeleta extraída es “NO”, calcule la probabilidad de que haya sido extraída de la urna A.
Paso 1
Definición de sucesos y construcción del árbol de probabilidad
**a) (1.5 puntos) Calcule la probabilidad de que sea un “SÍ”.**
En primer lugar, definimos los sucesos que intervienen en el experimento:
- $A$: Seleccionar la urna A.
- $B$: Seleccionar la urna B.
- $C$: Seleccionar la urna C.
- $S$: Extraer una papeleta con un "SÍ".
- $N$: Extraer una papeleta con un "NO".
Como elegimos una urna al azar entre tres, la probabilidad de elegir cada una es $1/3$:
$$P(A) = P(B) = P(C) = \frac{1}{3}$$
Calculamos las probabilidades de sacar "SÍ" o "NO" dentro de cada urna (probabilidades condicionadas):
- Urna A (Total 500): $P(S|A) = \frac{200}{500} = \frac{2}{5} \quad ; \quad P(N|A) = \frac{300}{500} = \frac{3}{5}$
- Urna B (Total 900): $P(S|B) = \frac{500}{900} = \frac{5}{9} \quad ; \quad P(N|B) = \frac{400}{900} = \frac{4}{9}$
- Urna C (Total 300): $P(S|C) = \frac{200}{300} = \frac{2}{3} \quad ; \quad P(N|C) = \frac{100}{300} = \frac{1}{3}$
Representamos el experimento mediante un diagrama de árbol:
Paso 2
Cálculo de la probabilidad total
Para hallar la probabilidad de obtener un "SÍ", aplicamos el **Teorema de la Probabilidad Total**. Sumamos las probabilidades de todas las ramas del árbol que terminan en el suceso $S$:
$$P(S) = P(A) \cdot P(S|A) + P(B) \cdot P(S|B) + P(C) \cdot P(S|C)$$
Sustituimos los valores obtenidos:
$$P(S) = \left( \frac{1}{3} \cdot \frac{2}{5} \right) + \left( \frac{1}{3} \cdot \frac{5}{9} \right) + \left( \frac{1}{3} \cdot \frac{2}{3} \right)$$
$$P(S) = \frac{2}{15} + \frac{5}{27} + \frac{2}{9}$$
Para sumar las fracciones, buscamos el común denominador, que es $m.c.m.(15, 27, 9) = 135$:
$$P(S) = \frac{18}{135} + \frac{25}{135} + \frac{30}{135} = \frac{73}{135}$$
💡 **Tip:** El Teorema de la Probabilidad Total se usa cuando un suceso puede ocurrir a través de varios caminos o causas mutuamente excluyentes (en este caso, las tres urnas).
✅ **Resultado (Apartado a):**
$$\boxed{P(S) = \frac{73}{135} \approx 0.5407}$$
Paso 3
Cálculo de la probabilidad a posteriori (Bayes)
**b) (1 punto) Si la papeleta extraída es “NO”, calcule la probabilidad de que haya sido extraída de la urna A.**
Nos piden una probabilidad condicionada: la probabilidad de que la urna sea A sabiendo que el resultado ha sido "NO". Es decir, $P(A|N)$. Aplicamos el **Teorema de Bayes**:
$$P(A|N) = \frac{P(A \cap N)}{P(N)} = \frac{P(A) \cdot P(N|A)}{P(N)}$$
Primero, calculamos $P(N)$. Como es el suceso contrario a $S$:
$$P(N) = 1 - P(S) = 1 - \frac{73}{135} = \frac{135 - 73}{135} = \frac{62}{135}$$
Ahora aplicamos la fórmula de Bayes:
$$P(A|N) = \frac{\frac{1}{3} \cdot \frac{3}{5}}{\frac{62}{135}} = \frac{\frac{1}{5}}{\frac{62}{135}}$$
Resolvemos la división de fracciones:
$$P(A|N) = \frac{1}{5} \cdot \frac{135}{62} = \frac{135}{310}$$
Simplificamos dividiendo entre 5:
$$P(A|N) = \frac{27}{62}$$
💡 **Tip:** El Teorema de Bayes nos permite calcular la probabilidad de una "causa" (Urna A) una vez que ya conocemos el "efecto" u observación (sacar NO).
✅ **Resultado (Apartado b):**
$$\boxed{P(A|N) = \frac{27}{62} \approx 0.4355}$$