Inferencia estadística: Intervalo de confianza y tamaño muestral

**a) (1.5 puntos) Se toma una muestra aleatoria simple de 100 alumnos, resultando una calificación media de 5.7 puntos. Calcule un intervalo de confianza para estimar $\mu$ a un nivel de confianza del 95%.** Primero, identificamos los datos que nos proporciona el enunciado: - Distribución poblacional: $N(\mu, 3)$, por lo que la desviación típica poblacional es $\sigma = 3$. - Tamaño de la muestra: $n = 100$. - Media muestral: $\bar{x} = 5.7$. - Nivel de confianza: $1 - \alpha = 0.95$. Para calcular el intervalo de confianza, necesitamos encontrar el valor crítico $z_{\alpha/2}$ tal que $P(-z_{\alpha/2} \le Z \le z_{\alpha/2}) = 0.95$. Calculamos la probabilidad acumulada para buscar en la tabla de la Normal $N(0, 1)$: $$P(Z \le z_{\alpha/2}) = 1 - \frac{\alpha}{2} = 1 - \frac{0.05}{2} = 1 - 0.025 = 0.975$$ Buscando en la tabla de la distribución Normal estándar, el valor que corresponde a una probabilidad de $0.975$ es: $$z_{\alpha/2} = 1.96$$ 💡 **Tip:** Los valores críticos más comunes son $1.96$ para el $95\%$ y $2.575$ para el $99\%$. ¡Es muy útil recordarlos!

El intervalo de confianza para la media poblacional $\mu$ viene dado por la fórmula: $$I.C. = (\bar{x} - E, \bar{x} + E)$$ donde $E$ es el error máximo admisible, calculado como: $$E = z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$$ Sustituimos los valores conocidos para calcular el error: $$E = 1.96 \cdot \frac{3}{\sqrt{100}} = 1.96 \cdot \frac{3}{10} = 1.96 \cdot 0.3 = 0.588$$ Ahora construimos el intervalo: $$I.C. = (5.7 - 0.588, 5.7 + 0.588) = (5.112, 6.288)$$ ✅ **Resultado (Intervalo de confianza):** $$\boxed{I.C. = (5.112, 6.288)}$$

**b) (1 punto) Determine el tamaño mínimo que debe tener una muestra aleatoria para poder estimar $\mu$ con un error máximo de 0.5 puntos y un nivel de confianza del 99%.** En este apartado cambian las condiciones: - Error máximo: $E = 0.5$. - Nivel de confianza: $1 - \alpha = 0.99$. - Desviación típica: $\sigma = 3$ (se mantiene). Calculamos el nuevo valor crítico $z_{\alpha/2}$ para un nivel de confianza del $99\%$: $$P(Z \le z_{\alpha/2}) = 1 - \frac{\alpha}{2} = 1 - \frac{0.01}{2} = 0.995$$ Buscando en la tabla de la Normal $N(0, 1)$, el valor $0.995$ se encuentra exactamente en el medio de $2.57$ y $2.58$. Por tanto, tomamos: $$z_{\alpha/2} = 2.575$$ 💡 **Tip:** Recuerda que si el valor exacto no aparece en la tabla, puedes realizar la media aritmética de los dos valores más cercanos.

Partimos de la fórmula del error para despejar el tamaño muestral $n$: $$E = z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \implies \sqrt{n} = \frac{z_{\alpha/2} \cdot \sigma}{E}$$ Sustituimos los datos: $$\sqrt{n} = \frac{2.575 \cdot 3}{0.5} = \frac{7.725}{0.5} = 15.45$$ Elevamos al cuadrado para despejar $n$: $$n = (15.45)^2 = 238.7025$$ Como el tamaño de la muestra debe ser un número entero y el error debe ser **como máximo** $0.5$, debemos redondear siempre al entero superior para asegurar que el error no sobrepase el límite: $$n = 239$$ ✅ **Resultado (Tamaño de muestra):** $$\boxed{n \ge 239 \text{ alumnos}}$$