Programación lineal: optimización de producción de palas de pádel

**Calcule cuántas palas de cada modelo tiene que fabricar para que el beneficio sea máximo y determine su importe.** Primero, definimos las variables de decisión del problema: - $x$: número de palas del modelo A fabricadas diariamente. - $y$: número de palas del modelo B fabricadas diariamente. A continuación, establecemos las restricciones basadas en los recursos disponibles. Es fundamental trabajar en las mismas unidades, por lo que convertimos los kg a gramos: $7.5\text{ kg} = 7500\text{ g}$ y $6.5\text{ kg} = 6500\text{ g}$. 1. **Fibra de carbono:** $90x + 100y \le 7500$ 2. **Goma EVA:** $100x + 50y \le 6500$ 3. **Límite de producción modelo A:** $x \le 60$ 4. **No negatividad:** $x \ge 0, y \ge 0$ (no se pueden fabricar cantidades negativas). Simplificando las inecuaciones dividiendo por 10: - $9x + 10y \le 750$ - $10x + 5y \le 650 \implies 2x + y \le 130$ - $x \le 60$ 💡 **Tip:** Simplificar las ecuaciones de las rectas auxiliares facilita mucho los cálculos posteriores de los vértices.

La función que queremos maximizar es el beneficio total, denominada **función objetivo**: $$B(x, y) = 30x + 20y$$ La región factible es el conjunto de puntos $(x, y)$ que cumplen todas las restricciones simultáneamente. Representamos las rectas asociadas para delimitar el área: - $r_1: 9x + 10y = 750$ - $r_2: 2x + y = 130$ - $r_3: x = 60$ El recinto resultante es un polígono cuyos vértices determinaremos en el siguiente paso.

Los vértices se obtienen mediante la intersección de las rectas que delimitan la región factible: 1. **Origen:** $O(0, 0)$. 2. **Eje Y con $r_1$:** Si $x=0$ en $9(0) + 10y = 750 \implies y = 75$. Vértice $\mathbf{A(0, 75)}$. 3. **Intersección $r_1$ y $r_2$:** $$\begin{cases} 9x + 10y = 750 \\ 2x + y = 130 \implies y = 130 - 2x \end{cases}$$ Sustituimos: $9x + 10(130 - 2x) = 750 \implies 9x + 1300 - 20x = 750 \implies -11x = -550 \implies x = 50$. Calculamos $y$: $y = 130 - 2(50) = 30$. Vértice $\mathbf{B(50, 30)}$. 4. **Intersección $r_2$ y $r_3$:** Si $x = 60$ en $2(60) + y = 130 \implies 120 + y = 130 \implies y = 10$. Vértice $\mathbf{C(60, 10)}$. 5. **Intersección $r_3$ con eje X:** Si $x=60, y=0$. Vértice $\mathbf{D(60, 0)}$. 💡 **Tip:** Es recomendable dibujar un esbozo rápido para identificar qué intersecciones forman realmente las esquinas del recinto factible.

Evaluamos la función objetivo $B(x, y) = 30x + 20y$ en cada uno de los vértices hallados: - $B(0, 0) = 30(0) + 20(0) = 0\text{ €}$ - $B(0, 75) = 30(0) + 20(75) = 1500\text{ €}$ - $B(50, 30) = 30(50) + 20(30) = 1500 + 600 = 2100\text{ €}$ - $B(60, 10) = 30(60) + 20(10) = 1800 + 200 = 2000\text{ €}$ - $B(60, 0) = 30(60) + 20(0) = 1800\text{ €}$ Comparando los resultados, el beneficio máximo es de $2100\text{ €}$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Se deben fabricar 50 palas del modelo A y 30 palas del modelo B para un beneficio máximo de 2100 €}}$$

**¿Sería posible una producción diaria de 49 palas del modelo A y 32 palas del modelo B?** Para comprobar si esta producción es posible, debemos verificar si el punto $(49, 32)$ cumple **todas** las restricciones planteadas en el paso 1: 1. **Modelo A ($x \le 60$):** $49 \le 60$. (Cumple) 2. **Goma EVA ($100x + 50y \le 6500$):** $100(49) + 50(32) = 4900 + 1600 = 6500$. $6500 \le 6500$. (Cumple, al límite) 3. **Fibra de carbono ($90x + 100y \le 7500$):** $90(49) + 100(32) = 4410 + 3200 = 7610$. Como $7610 \gt 7500$, **no se cumple** esta restricción. Al no disponer de suficiente fibra de carbono para esa combinación, la producción no es viable. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{No es posible, ya que se sobrepasa la disponibilidad de fibra de carbono (se requieren 7.61 kg)}}$$