Cálculo de derivadas y recta tangente

**a) (1.5 puntos) Calcule la derivada de las funciones $f(x) = e^{5x} \cdot (x^2 - 5)^3$ y $g(x) = \frac{(x^3 + 1)^2}{\ln(x^2 + 2)}$** Para calcular la derivada de $f(x) = e^{5x} \cdot (x^2 - 5)^3$, utilizaremos la **regla del producto** y la **regla de la cadena**. Identificamos los factores: - $u(x) = e^{5x} \implies u'(x) = 5e^{5x}$ - $v(x) = (x^2 - 5)^3 \implies v'(x) = 3(x^2 - 5)^2 \cdot (2x) = 6x(x^2 - 5)^2$ Aplicando la fórmula $(u \cdot v)' = u'v + uv'$: $$f'(x) = (5e^{5x}) \cdot (x^2 - 5)^3 + (e^{5x}) \cdot (6x(x^2 - 5)^2)$$ Podemos simplificar extrayendo factor común $e^{5x}(x^2 - 5)^2$: $$f'(x) = e^{5x}(x^2 - 5)^2 [5(x^2 - 5) + 6x]$$ $$f'(x) = e^{5x}(x^2 - 5)^2 (5x^2 - 25 + 6x)$$ 💡 **Tip:** Recuerda que para derivar $e^{g(x)}$ el resultado es $g'(x)e^{g(x)}$, y para una potencia $(g(x))^n$ es $n(g(x))^{n-1}g'(x)$. ✅ **Resultado (derivada de f):** $$\boxed{f'(x) = e^{5x}(x^2 - 5)^2 (5x^2 + 6x - 25)}$$

Para la función $g(x) = \frac{(x^3 + 1)^2}{\ln(x^2 + 2)}$, aplicamos la **regla del cociente**: Identificamos numerador y denominador: - Numerador: $N(x) = (x^3 + 1)^2 \implies N'(x) = 2(x^3 + 1) \cdot 3x^2 = 6x^2(x^3 + 1)$ - Denominador: $D(x) = \ln(x^2 + 2) \implies D'(x) = \frac{2x}{x^2 + 2}$ Aplicando la fórmula $\left(\frac{N}{D}\right)' = \frac{N'D - ND'}{D^2}$: $$g'(x) = \frac{6x^2(x^3 + 1) \cdot \ln(x^2 + 2) - (x^3 + 1)^2 \cdot \frac{2x}{x^2 + 2}}{[\ln(x^2 + 2)]^2}$$ 💡 **Tip:** La regla del cociente es fundamental. No olvides que en el numerador hay una resta y el denominador va al cuadrado. ✅ **Resultado (derivada de g):** $$\boxed{g'(x) = \frac{6x^2(x^3 + 1) \ln(x^2 + 2) - \frac{2x(x^3 + 1)^2}{x^2 + 2}}{(\ln(x^2 + 2))^2}}$$

**b) (1 punto) Obtenga la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función $h(x) = \frac{x+10}{x+5}$, en el punto de abscisa $x = 0$.** Para hallar la ecuación de la recta tangente en $x = 0$, necesitamos dos datos: el punto de tangencia $(0, h(0))$ y la pendiente $m = h'(0)$. **1. Hallamos la ordenada $y$:** $$y_0 = h(0) = \frac{0 + 10}{0 + 5} = \frac{10}{5} = 2$$ El punto de tangencia es **$(0, 2)$**. **2. Calculamos la derivada $h'(x)$ para hallar la pendiente:** Usamos la regla del cociente: $$h'(x) = \frac{(1) \cdot (x + 5) - (x + 10) \cdot (1)}{(x + 5)^2}$$ $$h'(x) = \frac{x + 5 - x - 10}{(x + 5)^2} = \frac{-5}{(x + 5)^2}$$ **3. Evaluamos la pendiente en $x = 0$:** $$m = h'(0) = \frac{-5}{(0 + 5)^2} = \frac{-5}{25} = -\frac{1}{5}$$ 💡 **Tip:** La pendiente de la recta tangente a una curva en un punto coincide con el valor de su derivada en dicho punto.

Utilizamos la ecuación en su forma **punto-pendiente**: $$y - y_0 = m(x - x_0)$$ Sustituyendo los valores obtenidos ($x_0 = 0$, $y_0 = 2$, $m = -1/5$): $$y - 2 = -\frac{1}{5}(x - 0)$$ Despejamos la $y$ para obtener la ecuación explícita: $$y = -\frac{1}{5}x + 2$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{y = -\frac{1}{5}x + 2}$$