Probabilidad total y Teorema de Bayes en deportistas

**a) (1.5 puntos) ¿Cuál es la probabilidad de que sea aficionado al ciclismo?** Primero, definimos los sucesos principales basados en el deporte que practican: - $F$: El deportista juega al fútbol. - $T$: El deportista juega al tenis. - $B$: El deportista juega al baloncesto. - $C$: El deportista es aficionado al ciclismo. Calculamos las probabilidades a priori de cada deporte dividiendo el número de deportistas entre el total ($250$): - $P(F) = \frac{120}{250} = 0.48$ - $P(T) = \frac{60}{250} = 0.24$ - $P(B) = \frac{70}{250} = 0.28$ Las probabilidades condicionadas (afición al ciclismo según el deporte) son: - $P(C|F) = 0.75$ (75% de los futbolistas) - $P(C|T) = 0.65$ (65% de los tenistas) - $P(C|B) = 0.60$ (60% de los baloncestistas) Podemos representar esta información en un **árbol de probabilidades**:

Para hallar la probabilidad de que un deportista elegido al azar sea aficionado al ciclismo, aplicamos el **Teorema de la Probabilidad Total**. Este teorema nos dice que la probabilidad de $C$ es la suma de las probabilidades de ser aficionado al ciclismo dentro de cada deporte: $$P(C) = P(F) \cdot P(C|F) + P(T) \cdot P(C|T) + P(B) \cdot P(C|B)$$ Sustituimos los valores calculados en el paso anterior: $$P(C) = (0.48 \cdot 0.75) + (0.24 \cdot 0.65) + (0.28 \cdot 0.60)$$ $$P(C) = 0.36 + 0.156 + 0.168$$ $$P(C) = 0.684$$ 💡 **Tip:** Recuerda que la suma de las probabilidades de las ramas principales ($0.48 + 0.24 + 0.28$) siempre debe ser $1$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(C) = 0.684}$$ La probabilidad de que sea aficionado al ciclismo es del **68.4%**.

**b) (1 punto) Si es aficionado al ciclismo, ¿cuál es la probabilidad de que juegue al tenis?** En este apartado se nos pide una probabilidad a posteriori: conocemos el efecto (es aficionado al ciclismo) y queremos saber la probabilidad de la causa (que juegue al tenis). Esto se resuelve mediante el **Teorema de Bayes**. La fórmula es: $$P(T|C) = \frac{P(T \cap C)}{P(C)} = \frac{P(T) \cdot P(C|T)}{P(C)}$$ Utilizamos los datos obtenidos anteriormente: - Numerador (Probabilidad de que juegue al tenis y sea ciclista): $P(T) \cdot P(C|T) = 0.24 \cdot 0.65 = 0.156$. - Denominador (Probabilidad total de ser ciclista calculada en el apartado a): $P(C) = 0.684$. Sustituimos: $$P(T|C) = \frac{0.156}{0.684}$$ Realizamos la división: $$P(T|C) \approx 0.22807$$ 💡 **Tip:** El Teorema de Bayes siempre relaciona la probabilidad de una "rama" específica dividida por la probabilidad total de ese suceso final. ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(T|C) \approx 0.2281}$$ La probabilidad de que juegue al tenis sabiendo que es aficionado al ciclismo es, aproximadamente, del **22.81%**.