Inferencia estadística: Proporción y tamaño muestral

**a) (1.5 puntos) Halle, con un nivel de confianza del 95%, un intervalo de confianza para estimar la proporción de clientes del supermercado que compra ese producto.** Primero, identificamos los datos que nos proporciona el enunciado para la muestra inicial: - Tamaño de la muestra: $n = 1000$ - Clientes que compran el producto: $x = 300$ Calculamos la proporción muestral $\hat{p}$: $$\hat{p} = \frac{x}{n} = \frac{300}{1000} = 0.3$$ Calculamos también el valor complementario $\hat{q}$ (proporción de clientes que no compran): $$\hat{q} = 1 - \hat{p} = 1 - 0.3 = 0.7$$ 💡 **Tip:** En problemas de proporciones, recuerda que $\hat{p} + \hat{q} = 1$. Siempre necesitaremos ambos valores para la fórmula del error.

Para un nivel de confianza del $95\%$, tenemos que $1 - \alpha = 0.95$. Calculamos el valor de $\alpha$: $$\alpha = 1 - 0.95 = 0.05 \implies \frac{\alpha}{2} = 0.025$$ Buscamos el valor crítico $z_{\alpha/2}$ tal que la probabilidad acumulada sea: $$P(Z \le z_{\alpha/2}) = 1 - 0.025 = 0.975$$ Consultando la tabla de la distribución Normal $N(0, 1)$, encontramos que el valor que corresponde a $0.975$ es: $$\boxed{z_{\alpha/2} = 1.96}$$ 💡 **Tip:** El valor $z_{\alpha/2} = 1.96$ es el más común en selectividad para el nivel del 95%. Conviene recordarlo de memoria.

La fórmula para el intervalo de confianza de una proporción es: $$I.C. = \left( \hat{p} - z_{\alpha/2} \cdot \sqrt{\frac{\hat{p}\hat{q}}{n}}, \hat{p} + z_{\alpha/2} \cdot \sqrt{\frac{\hat{p}\hat{q}}{n}} \right)$$ Calculamos primero el error máximo admisible $E$: $$E = z_{\alpha/2} \cdot \sqrt{\frac{\hat{p}\hat{q}}{n}} = 1.96 \cdot \sqrt{\frac{0.3 \cdot 0.7}{1000}}$$ $$E = 1.96 \cdot \sqrt{0.00021} \approx 1.96 \cdot 0.01449 \approx 0.0284$$ Ahora formamos el intervalo: $$I.C. = (0.3 - 0.0284, 0.3 + 0.0284) = (0.2716, 0.3284)$$ ✅ **Resultado (Intervalo de confianza):** $$\boxed{I.C. = (0.2716, 0.3284)}$$

**b) (1 punto) Si en otra muestra la proporción de clientes que compra ese producto es de 0.25 y el error cometido en la estimación ha sido inferior a 0.03, con un nivel de confianza del 92.5%, calcule el tamaño mínimo de la muestra.** Identificamos los nuevos datos del apartado b): - Nueva proporción: $p = 0.25 \implies q = 1 - 0.25 = 0.75$ - Error máximo: $E < 0.03$ - Nivel de confianza: $1 - \alpha = 0.925$ Calculamos el nuevo valor crítico $z_{\alpha/2}$: $$\alpha = 1 - 0.925 = 0.075 \implies \frac{\alpha}{2} = 0.0375$$ Buscamos $P(Z \le z_{\alpha/2}) = 1 - 0.0375 = 0.9625$. En la tabla de la Normal $N(0, 1)$: $$\boxed{z_{\alpha/2} = 1.78}$$

Partimos de la fórmula del error para despejar el tamaño muestral $n$: $$E = z_{\alpha/2} \cdot \sqrt{\frac{pq}{n}} \implies E^2 = z_{\alpha/2}^2 \cdot \frac{pq}{n} \implies n = \frac{z_{\alpha/2}^2 \cdot p \cdot q}{E^2}$$ Sustituimos los valores: $$n = \frac{(1.78)^2 \cdot 0.25 \cdot 0.75}{0.03^2}$$ $$n = \frac{3.1684 \cdot 0.1875}{0.0009}$$ $$n = \frac{0.594075}{0.0009} = 660.0833...$$ Como buscamos el tamaño mínimo para que el error sea **inferior** a 0.03, debemos redondear siempre al entero superior, sin importar el decimal. 💡 **Tip:** En problemas de tamaño muestral, si el resultado no es exacto, siempre se redondea hacia arriba para garantizar que el error sea menor o igual al solicitado. ✅ **Resultado (Tamaño mínimo):** $$\boxed{n = 661 \text{ clientes}}$$