Programación Lineal: Alimentación Ganadera y Optimización

**a) (1 punto) Plantee, sin resolver, las restricciones de este problema e indique la función a optimizar:** Primero, definimos las variables de decisión del problema, que representan las cantidades que el ganadero debe decidir comprar: - $x$: Kilogramos de maíz comprados diariamente por oveja. - $y$: Kilogramos de pienso comprados diariamente por oveja. El objetivo es minimizar el coste total. Dado que el maíz cuesta 0.50 €/kg y el pienso 0.25 €/kg, la **función objetivo** (función a optimizar) es: $$f(x, y) = 0.50x + 0.25y$$ 💡 **Tip:** En problemas de optimización, siempre identifica primero qué magnitudes puedes variar (variables) y qué quieres maximizar o minimizar (función objetivo).

A continuación, establecemos las restricciones basadas en las necesidades nutricionales mínimas de las ovejas: 1. **Hidratos de carbono:** El maíz aporta 600 g/kg y el pienso 300 g/kg. Se necesitan al menos 1800 g. $$600x + 300y \ge 1800$$ (Dividiendo por 300: $2x + y \ge 6$) 2. **Proteínas:** El maíz aporta 200 g/kg y el pienso 600 g/kg. Se necesitan al menos 2400 g. $$200x + 600y \ge 2400$$ (Dividiendo por 200: $x + 3y \ge 12$) 3. **No negatividad:** Las cantidades de producto no pueden ser negativas. $$x \ge 0, \quad y \ge 0$$ ✅ **Resultado (Planteamiento):** $$\boxed{\begin{cases} \text{Minimizar } f(x, y) = 0.50x + 0.25y \\ \text{Sujeto a: } \\ 600x + 300y \ge 1800 \\ 200x + 600y \ge 2400 \\ x \ge 0, \; y \ge 0 \end{cases}}$$

**b) (1.5 puntos) Represente el recinto limitado por las siguientes restricciones, calculando sus vértices** $$x \ge 0 \qquad x \le 2y + 2 \qquad x + y \le 5$$ Para representar el recinto, dibujamos las rectas asociadas a las desigualdades: 1. **Recta 1 ($r_1$):** $x = 0$ (Eje de ordenadas $Y$). 2. **Recta 2 ($r_2$):** $x = 2y + 2$. Si $y=0 \implies x=2$, punto $(2,0)$. Si $x=0 \implies y=-1$, punto $(0, -1)$. 3. **Recta 3 ($r_3$):** $x + y = 5$. Si $x=0 \implies y=5$, punto $(0,5)$. Si $y=0 \implies x=5$, punto $(5,0)$. **Cálculo de los vértices:** - **Vértice A:** Intersección de $r_1$ ($x=0$) y $r_3$ ($x+y=5$). $0 + y = 5 \implies y = 5 \implies \mathbf{A(0, 5)}$ - **Vértice B:** Intersección de $r_2$ ($x-2y=2$) y $r_3$ ($x+y=5$). Restando las ecuaciones: $(x+y) - (x-2y) = 5-2 \implies 3y = 3 \implies y = 1$. Sustituyendo: $x + 1 = 5 \implies x = 4 \implies \mathbf{B(4, 1)}$ - **Vértice C:** Intersección de $r_1$ ($x=0$) y $r_2$ ($x=2y+2$). $0 = 2y + 2 \implies 2y = -2 \implies y = -1 \implies \mathbf{C(0, -1)}$ 💡 **Tip:** Para saber qué región sombrear, elige un punto de prueba como el $(1,1)$ y comprueba si cumple las tres inecuaciones: $1 \ge 0$ (Sí), $1 \le 2(1)+2$ (Sí), $1+1 \le 5$ (Sí).

Para encontrar el máximo de $F(x, y) = 4x + 3y$ en el recinto, evaluamos la función en cada uno de los vértices hallados: - En **$A(0, 5)$**: $$F(0, 5) = 4(0) + 3(5) = 15$$ - En **$B(4, 1)$**: $$F(4, 1) = 4(4) + 3(1) = 16 + 3 = 19$$ - En **$C(0, -1)$**: $$F(0, -1) = 4(0) + 3(-1) = -3$$ Comparando los resultados, el valor máximo es **19** y se alcanza en el punto **$(4, 1)$**. 💡 **Tip:** Según el Teorema Fundamental de la Programación Lineal, si existe una solución óptima, esta debe encontrarse en un vértice del recinto (o en un segmento que une dos vértices). ✅ **Resultado final:** $$\boxed{\text{Máximo } F(x, y) = 19 \text{ en el punto } (4, 1)}$$