Estudio de una función de costes cuadrática

**a) (1 punto) ¿Disminuye el coste alguna vez? Determine la cantidad producida de dicho artículo cuando el coste es mínimo y cuál es dicho coste.** Para saber si el coste disminuye, debemos estudiar la monotonía de la función $f(x)$ a través de su derivada $f'(x)$. Calculamos la derivada de $f(x) = 40 - 6x + x^2$: $$f'(x) = -6 + 2x$$ Buscamos los puntos críticos igualando la derivada a cero: $$-6 + 2x = 0 \implies 2x = 6 \implies x = 3$$ Ahora estudiamos el signo de la derivada en los intervalos definidos por el dominio ($x \geq 0$) y el punto crítico $x = 3$: $$\begin{array}{c|ccc} x & (0, 3) & 3 & (3, +\infty) \\ \hline f'(x) & - & 0 & + \\ \hline f(x) & \searrow & \text{Mínimo} & \nearrow \end{array}$$ Como la derivada es negativa en el intervalo $(0, 3)$, la función es decreciente en ese tramo. Por lo tanto, **el coste sí disminuye** cuando la producción aumenta de 0 a 3 unidades. 💡 **Tip:** Recuerda que si $f'(x) \lt 0$, la función decrece, y si $f'(x) \gt 0$, la función crece.

A partir del estudio anterior, vemos que en $x = 3$ se produce un cambio de decreciente a creciente, por lo que hay un **mínimo relativo** (que además es absoluto para $x \geq 0$). La cantidad producida para que el coste sea mínimo es **$x = 3$ unidades**. Calculamos el valor de dicho coste sustituyendo $x = 3$ en la función original: $$f(3) = 40 - 6(3) + (3)^2 = 40 - 18 + 9 = 31$$ ✅ **Resultado (Apartado a):** $$\boxed{\text{El coste disminuye para } x \in (0, 3). \text{ Mínimo en } x = 3 \text{ con un coste de } 31}$$

**b) (0.8 puntos) ¿Cuál sería el coste si no se produjese nada de ese artículo? Si el coste fuese 80, ¿cuántas serían las unidades producidas?** Si no se produce nada, la cantidad es $x = 0$. Calculamos el coste sustituyendo en la función: $$f(0) = 40 - 6(0) + 0^2 = 40$$ 💡 **Tip:** En economía, este valor suele conocerse como el "coste fijo", que es el coste en el que incurre la empresa aunque la producción sea cero. ✅ **Resultado (Coste para $x=0$):** $$\boxed{40}$$

Para hallar las unidades producidas cuando el coste es 80, igualamos la función a 80 y resolvemos la ecuación de segundo grado: $$40 - 6x + x^2 = 80$$ $$x^2 - 6x + 40 - 80 = 0$$ $$x^2 - 6x - 40 = 0$$ Usamos la fórmula general para ecuaciones de segundo grado $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$: $$x = \frac{6 \pm \sqrt{(-6)^2 - 4(1)(-40)}}{2(1)} = \frac{6 \pm \sqrt{36 + 160}}{2} = \frac{6 \pm \sqrt{196}}{2} = \frac{6 \pm 14}{2}$$ Obtenemos dos soluciones: 1) $x_1 = \frac{6 + 14}{2} = \frac{20}{2} = 10$ 2) $x_2 = \frac{6 - 14}{2} = \frac{-8}{2} = -4$ Como el enunciado indica que $x \geq 0$ (la producción no puede ser negativa), descartamos $x = -4$. ✅ **Resultado (Apartado b):** $$\boxed{\text{Si el coste es 80, las unidades producidas son } x = 10}$$

**c) (0.7 puntos) Represente gráficamente la función.** La función $f(x) = x^2 - 6x + 40$ es una parábola con las siguientes características: - Dominio: $[0, +\infty)$. - Vértice (punto mínimo): $(3, 31)$. - Punto de corte con el eje Y ($x=0$): $(0, 40)$. - Es una parábola abierta hacia arriba (porque el coeficiente de $x^2$ es positivo). - Pasa por el punto $(10, 80)$ según hemos calculado en el apartado anterior. A continuación se presenta la representación gráfica detallada: