Probabilidad de restricción de vehículos en el centro urbano

Para resolver el problema, primero definimos los sucesos y calculamos las probabilidades iniciales basándonos en el tamaño de la población total. La población total es de $5000 + 10000 = 15000$ personas. Definimos los siguientes sucesos: - $C$: El residente vive en el **centro**. - $P$: El residente vive en la **periferia**. - $R$: El residente está **a favor de restringir** el acceso. - $\overline{R}$: El residente **no está a favor** de restringir el acceso. Calculamos las probabilidades de los sucesos base: - $P(C) = \dfrac{5000}{15000} = \dfrac{1}{3}$ - $P(P) = \dfrac{10000}{15000} = \dfrac{2}{3}$ Las probabilidades condicionadas dadas son: - $P(R|C) = 0.95$ - $P(R|P) = 0.20$ Representamos la situación mediante un **diagrama de árbol**:

**a) (1.25 puntos) ¿Cuál es la probabilidad de que esté a favor de restringir el acceso de vehículos privados al centro de la ciudad?** Para calcular la probabilidad de estar a favor ($R$), aplicamos el **Teorema de la Probabilidad Total**. Este suceso ocurre si la persona es del centro y está a favor, o si es de la periferia y está a favor: $$P(R) = P(C) \cdot P(R|C) + P(P) \cdot P(R|P)$$ Sustituimos los valores obtenidos anteriormente: $$P(R) = \left( \frac{1}{3} \cdot 0.95 \right) + \left( \frac{2}{3} \cdot 0.20 \right)$$ $$P(R) = \frac{0.95}{3} + \frac{0.40}{3} = \frac{1.35}{3} = 0.45$$ 💡 **Tip:** Recuerda que la suma de todas las probabilidades en un diagrama de árbol para los caminos que llevan al mismo suceso final nos da la probabilidad total de dicho suceso. ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(R) = 0.45}$$

**b) (0.5 puntos) ¿Cuál es la probabilidad de que resida en el centro y esté a favor de la restricción de acceso?** Buscamos la probabilidad de que ocurran ambos sucesos simultáneamente: que resida en el centro ($C$) **y** esté a favor ($R$). Esto corresponde a la intersección $P(C \cap R)$. Utilizamos la definición de probabilidad condicionada: $$P(C \cap R) = P(C) \cdot P(R|C)$$ Sustituimos los valores: $$P(C \cap R) = \frac{1}{3} \cdot 0.95 = \frac{1}{3} \cdot \frac{95}{100} = \frac{95}{300}$$ Simplificando la fracción (dividiendo entre 5): $$P(C \cap R) = \frac{19}{60} \approx 0.3167$$ 💡 **Tip:** El suceso "A y B" siempre se calcula multiplicando la probabilidad de la rama del árbol correspondiente. ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(C \cap R) = \frac{19}{60} \approx 0.3167}$$

**c) (0.75 puntos) Si la persona elegida opina que se debería restringir el acceso, ¿cuál es la probabilidad de que resida en el centro de la ciudad?** En este caso, se nos da una información previa: sabemos que la persona opina que se debe restringir el acceso ($R$). Queremos calcular la probabilidad condicionada de que sea del centro ($C$). Es decir, buscamos $P(C|R)$. Aplicamos el **Teorema de Bayes**: $$P(C|R) = \frac{P(C \cap R)}{P(R)}$$ Ya tenemos ambos valores calculados en los apartados anteriores: - $P(C \cap R) = \frac{1.35}{3}$ (o $0.3167$) - $P(R) = 0.45$ Es preferible usar los valores exactos o decimales manejables: $$P(C|R) = \frac{0.95/3}{1.35/3} = \frac{0.95}{1.35}$$ Multiplicamos por 100 para eliminar decimales y simplificamos: $$P(C|R) = \frac{95}{135}$$ Dividiendo entre 5: $$P(C|R) = \frac{19}{27} \approx 0.7037$$ 💡 **Tip:** Bayes se utiliza cuando nos piden la probabilidad de una "causa" (origen en el árbol) sabiendo el "efecto" final. ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(C|R) = \frac{19}{27} \approx 0.7037}$$