Muestreo aleatorio simple y distribución de medias muestrales

**a) (1.25 puntos) Mediante muestreo aleatorio simple, exprese todas las muestras posibles de tamaño 2.** En el **muestreo aleatorio simple (M.A.S.)**, las extracciones se realizan con reemplazamiento (o reposición). Esto significa que cada elemento de la población tiene la misma probabilidad de ser elegido en cada extracción y un mismo tornillo puede aparecer repetido en la muestra. Como tenemos una población de $N=4$ elementos $\{1, 2, 3, 4\}$ y el tamaño de la muestra es $n=2$, el número total de muestras posibles es: $$N^n = 4^2 = 16 \text{ muestras.}$$ Listamos todas las muestras posibles (parejas ordenadas): $$(1,1), (1,2), (1,3), (1,4)$$ $$(2,1), (2,2), (2,3), (2,4)$$ $$(3,1), (3,2), (3,3), (3,4)$$ $$(4,1), (4,2), (4,3), (4,4)$$ 💡 **Tip:** En el muestreo aleatorio simple el orden es relevante y existe reposición. Por ello, $(1,2)$ y $(2,1)$ se consideran muestras distintas. ✅ **Resultado:** $$\boxed{S = \{(1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (2,1), (2,2), (2,3), (2,4), (3,1), (3,2), (3,3), (3,4), (4,1), (4,2), (4,3), (4,4)\}}$$

**b) (1.25 puntos) Determine la media y la varianza de los pesos medios muestrales.** Para cada una de las 16 muestras anteriores, calculamos su media aritmética $\bar{x} = \frac{x_1 + x_2}{2}$: 1. $(1,1) \to \bar{x} = 1.0$ 2. $(1,2) \to \bar{x} = 1.5$ 3. $(1,3) \to \bar{x} = 2.0$ 4. $(1,4) \to \bar{x} = 2.5$ 5. $(2,1) \to \bar{x} = 1.5$ 6. $(2,2) \to \bar{x} = 2.0$ 7. $(2,3) \to \bar{x} = 2.5$ 8. $(2,4) \to \bar{x} = 3.0$ 9. $(3,1) \to \bar{x} = 2.0$ 10. $(3,2) \to \bar{x} = 2.5$ 11. $(3,3) \to \bar{x} = 3.0$ 12. $(3,4) \to \bar{x} = 3.5$ 13. $(4,1) \to \bar{x} = 2.5$ 14. $(4,2) \to \bar{x} = 3.0$ 15. $(4,3) \to \bar{x} = 3.5$ 16. $(4,4) \to \bar{x} = 4.0$ 💡 **Tip:** La media muestral es simplemente el promedio de los pesos de los tornillos que componen cada muestra específica.

Para calcular la media y la varianza de todas estas medias, organizamos los datos en una tabla de frecuencias: $$\begin{array}{c|c|c|c} \bar{x}_i & f_i & \bar{x}_i \cdot f_i & \bar{x}_i^2 \cdot f_i \\ \hline 1.0 & 1 & 1.0 & 1.0 \\ 1.5 & 2 & 3.0 & 4.5 \\ 2.0 & 3 & 6.0 & 12.0 \\ 2.5 & 4 & 10.0 & 25.0 \\ 3.0 & 3 & 9.0 & 27.0 \\ 3.5 & 2 & 7.0 & 24.5 \\ 4.0 & 1 & 4.0 & 16.0 \\ \hline \sum & 16 & 40.0 & 110.0 \end{array}$$ Donde $f_i$ es el número de veces que aparece cada valor de media entre las 16 muestras totales.

La media de las medias muestrales, denotada por $\mu_{\bar{x}}$, se calcula como: $$\mu_{\bar{x}} = \frac{\sum \bar{x}_i \cdot f_i}{n_{total}} = \frac{40}{16} = 2.5$$ 💡 **Tip:** En el M.A.S., se cumple siempre que $\mu_{\bar{x}} = \mu$ (la media de la población). Aquí, $\mu = \frac{1+2+3+4}{4} = 2.5$, lo que confirma nuestro resultado. ✅ **Resultado (Media):** $$\boxed{\mu_{\bar{x}} = 2.5\text{ g}}$$

La varianza de las medias muestrales ($\sigma^2_{\bar{x}}$) se calcula con la fórmula de la varianza: $$\sigma^2_{\bar{x}} = \frac{\sum \bar{x}_i^2 \cdot f_i}{n_{total}} - (\mu_{\bar{x}})^2$$ Sustituimos los valores sumados en la tabla: $$\sigma^2_{\bar{x}} = \frac{110}{16} - (2.5)^2$$ $$\sigma^2_{\bar{x}} = 6.875 - 6.25 = 0.625$$ 💡 **Tip:** También podrías usar la propiedad $\sigma^2_{\bar{x}} = \frac{\sigma^2}{n}$. Calculando la varianza poblacional $\sigma^2 = 1.25$ y dividiendo por $n=2$ obtienes $0.625$. ✅ **Resultado (Varianza):** $$\boxed{\sigma^2_{\bar{x}} = 0.625\text{ g}^2}$$