Igualdades notables con matrices y resolución de ecuación matricial

**a) (1.2 puntos) ¿Se verifica la igualdad $(A + B)^2 = A^2 + B^2 + 2A \cdot B$?** Primero sumamos las matrices $A$ y $B$ sumando elemento a elemento: $$A + B = \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 1 & 2 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1+2 & 0+1 \\ 1+0 & 2-1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$$ Ahora calculamos el cuadrado de la suma, multiplicando la matriz por sí misma: $$(A + B)^2 = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1\cdot 1 + 1\cdot 1 & 1\cdot 1 + 1\cdot 1 \\ 1\cdot 1 + 1\cdot 1 & 1\cdot 1 + 1\cdot 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 2 \\ 2 & 2 \end{pmatrix}$$ 💡 **Tip:** Recuerda que elevar una matriz al cuadrado no es elevar cada elemento al cuadrado, sino multiplicar la matriz por sí misma: $M^2 = M \cdot M$.

Ahora calculamos por separado $A^2$, $B^2$ y $2AB$: **Cálculo de $A^2$:** $$A^2 = \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 1 & 2 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 1 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1+0 & 0+0 \\ -1+2 & 0+4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 4 \end{pmatrix}$$ **Cálculo de $B^2$:** $$B^2 = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4+0 & 2-1 \\ 0+0 & 0+1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$$ **Cálculo de $2AB$:** $$A \cdot B = \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 1 & 2 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2+0 & -1+0 \\ 2+0 & 1-2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2 & -1 \\ 2 & -1 \end{pmatrix}$$ $$2AB = 2 \cdot \begin{pmatrix} -2 & -1 \\ 2 & -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -4 & -2 \\ 4 & -2 \end{pmatrix}$$

Sumamos los resultados obtenidos para el segundo miembro: $$A^2 + B^2 + 2AB = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 4 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 4 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} -4 & -2 \\ 4 & -2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1+4-4 & 0+1-2 \\ 1+0+4 & 4+1-2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 5 & 3 \end{pmatrix}$$ Comparamos ambos resultados: $$(A + B)^2 = \begin{pmatrix} 2 & 2 \\ 2 & 2 \end{pmatrix} \neq \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 5 & 3 \end{pmatrix} = A^2 + B^2 + 2AB$$ 💡 **Tip:** En general, la igualdad $(A+B)^2 = A^2 + B^2 + 2AB$ solo se cumple si las matrices conmutan, es decir, si $AB = BA$. Como en matrices el producto no suele ser conmutativo, esta igualdad de productos notables no suele cumplirse. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{No se verifica la igualdad}}$$

**b) (1.3 puntos) Resuelva la ecuación matricial $X \cdot A = 2B^t + I_2$** Para despejar $X$, debemos multiplicar por la derecha por la matriz inversa de $A$ ($A^{-1}$), siempre que esta exista: $$X \cdot A = 2B^t + I_2 \implies X \cdot A \cdot A^{-1} = (2B^t + I_2) \cdot A^{-1} \implies X = (2B^t + I_2) \cdot A^{-1}$$ 💡 **Tip:** Es crucial el orden en la multiplicación matricial. Como $A$ está a la derecha de $X$, su inversa $A^{-1}$ debe aparecer a la derecha de los términos del otro lado del igual. Comprobamos si $A$ tiene inversa calculando su determinante: $$|A| = \begin{vmatrix} -1 & 0 \\ 1 & 2 \end{vmatrix} = (-1)\cdot 2 - 1\cdot 0 = -2 \neq 0$$ Como el determinante es distinto de cero, **la matriz A es invertible**.

Usamos la fórmula $A^{-1} = \frac{1}{|A|} \text{Adj}(A)^t$: 1. Matriz de adjuntos $\text{Adj}(A)$: $$\text{Adj}(A) = \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}$$ 2. Traspuesta de la adjunta $\text{Adj}(A)^t$: $$\text{Adj}(A)^t = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ -1 & -1 \end{pmatrix}$$ 3. Inversa de $A$: $$A^{-1} = \frac{1}{-2} \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ -1 & -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 1/2 & 1/2 \end{pmatrix}$$

Primero calculamos la traspuesta de $B$: $$B^t = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}$$ Ahora calculamos $2B^t + I_2$: $$2B^t + I_2 = 2 \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 1 & -1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 & 0 \\ 2 & -2 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 & 0 \\ 2 & -1 \end{pmatrix}$$

Finalmente multiplicamos el resultado del paso anterior por $A^{-1}$: $$X = \begin{pmatrix} 5 & 0 \\ 2 & -1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 1/2 & 1/2 \end{pmatrix}$$ $$X = \begin{pmatrix} 5\cdot(-1) + 0\cdot(1/2) & 5\cdot 0 + 0\cdot(1/2) \\ 2\cdot(-1) + (-1)\cdot(1/2) & 2\cdot 0 + (-1)\cdot(1/2) \end{pmatrix}$$ $$X = \begin{pmatrix} -5 & 0 \\ -2 - 1/2 & -1/2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -5 & 0 \\ -5/2 & -1/2 \end{pmatrix}$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{X = \begin{pmatrix} -5 & 0 \\ -5/2 & -1/2 \end{pmatrix}}$$